Welche Bedeutung haben erste und zweite Ableitung und welche zusammenhänge gibt es?

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2 Antworten

Du musst etwas genauer sein ;)

Die erste Ableitung gibt die Steigung der Tangente für die Stelle x an. Für

f ' ( x =2 ) = 6 z.B. hat der Punkt der Funktion f(x=2) die Steigung 6.
Ein Extrempunkt ist dadurch definiert, dass die Steigung einer Tangente an diesem Punkt die Steigung Null hat.
Das spiegelt sich in der ersten Ableitung dadurch wieder, dass man genau das fordert, also f ' (x) = 0 ,daher schneidet der Graph der Funktion f '(x) auch eben die X-Asche.

Die zweite Ableitung beschreibt in sofern ja wieder nichts anderes als das Steigungsverhalten der ersten Ableitung f '(x). Allerdings kann die zweite Ableitung auch noch eine Aussage über die Ausgangsfunktion f(x) aussagen.

Im Prinzip beschreibt jede neu gemachte Ableitung, das Änderungsverhalten der entsprechenden Stammfunktion. Heißt für die 1 und 2 Ableitung:

"Wie" ändert sich mein Steigungsverhalten? Wird meine Steigung für steigendes x immer größer und dann ab einem Punkt wieder kleiner, so liegt ein Maximum vor, wird sie immer kleiner und irgendwann wieder größer, liegt ein Minumum vor. Dieses Verhalten siehst du in der ersten Ableitung als Extrempunkt. Wie ermittelt man Extrempunkte? Man setzt die Ableitung (zweite) gleich Null, weil die Steigung in einem Extrempunkt 0 ist. 
 
In deiner Ausgangsfunktion wird diese Änderung des Steigungsverhaltens durch einen sogenannten Wendepunkt erkennbar.

 

Du siehst im Beispiel die blaue Ausgansfunktion.
Rot ist die erste Ableitung, Grün die zweite.
Rot besitzt am Extrempunkt von Blau eine Nullstelle.
Grün hat eine Nullstelle an der Stelle des Extrempunktes von Rot und beschreibt die Wendestelle von blau. Du siehst wie sich die Steigung der blauen Kurve, genau im Punkt 1,1 ändert. 

Die zweite Ableitung sagt Dir, ob ein Extremwert der Funktion ein Minimum oder Maximum ist. Ist die erste Ableitung gleich Null und die zweite Ableitung größer Null, so liegt dort ein Minimum, ist die erste Ableitung gleich Null und die zweite Ableitung kleiner Null, so liegt dort ein Maximum.

Weiter kann man mit der zweiten Ableitung noch die Wendepunkte bestimmen. Ist die zweite Ableitung gleich Null und die dritte Ableitung ungleich Null, so hat die Funktion an dieser Stelle einen Wendepunkt.

Eine Sonderform ist der Sattelpunkt, ein Wendepunkt mit Steigung Null, hier sind die erste und zweite Ableitung gleich Null, die dritte ist ungleich Null.

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