Weißt vielleicht jemand wie man diese aufgaben löst (Ganzrationale Funktionen) Wie geh ich vor 1) f(x)=4x³-13x+6 2) f(x)=4x³-8x²-11x-3?

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4 Antworten

Hier kannst Du nur eine Nullstelle raten.

In der Regel ist bei solchen Aufgaben mindestens eine Nullstelle ganzzahlig. Zudem ist diese Nullstelle ein Teiler des absoluten Glieds (der Zahl am Ende ohne x).

Probiere also bei Aufgabe 1 die Teiler von 6 durch, also: +-6,+-3,+-2,+-1
Du wirst bei x=-2 zum Erfolg kommen. Jetzt musst Du die Polynomdivision anwenden, indem Du den kompletten Polynom durch (x minus erratene Nullstelle) teilst; d. h. hier durch (x-(-2)=(x+2), also (4x³-13x+6) : (x+2).
Das Ergebnis wird etwas mit x² sein, was Du nun mit der pq-Formel lösen kannst. Somit wirst Du letztendlich alle 3 Nullstellen ermitteln können.

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Kommentar von Edzz27
05.09.2016, 20:29

Wie komm ich auf die x=-2 ich hab es versucht mit der table funktion im taschen rechner  herrauszufinden aber es ging nicht. Muss ich nicht das hornerschema benutzen? 

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  Aber claro doch; dein Beispielpolynom 1) . Schon in der Vorlesung lernt man, dass die Alternative lautet: Entwsder dein Polynom ist prim, das ===> Minimalpolynom seiner drei Wurzeln. Oder es spaltet einen rationalen Linearfaktor ( RLF ) ab; seien wir Optimisten. Schau mal, was Pappi alles weiß:

https://de.wikipedia.org/wiki/Satz_%C3%BCber_rationale_Nullstellen

   Der Satz von der rationalen Nullstelle ( SRN ) Naa; hast du dich von deinem Schock erholt?Entdeckt wurde er wohl im Internet um 1990; meine sämtlichen Entdeckungen zu dem Thema SRN fallen in jene Woche des Jahres 2011, als ich erstmals davon erfuhr.

    Jene Behauptung in wiki allerdings, der SRN gehe auf Gauß zurück, stellt eine dreiste Fälschung dar. Zwei Gegenargumente; warum hat sich der ( triviale ) Irrationalitätsbeweis von wurzel ( 2 ) auf Grund des SRN nicht durchgesetzt?

    Und seltsam; absolut kein Portal scheint zu begreifen, dass die aussage des SRN überhaupt nur Sinn voll ist für primitive Polynome ( ganzzahlig gekürzt; warum? )

   Dein Polynom

   

   f ( x ) := b3 x ³ + b2 x ²  + b1 x + b0          (  1a  )

      b3 = 4 ; b2 = 0 ; b1 = ( - 13 ) ; b0 = 6   (  1b  )

     ist jeden Falls primief. Aha; wieder was gelernt. Wurzeln können nur sein Ganze ( trivial ) , Halbe so wie Viertel. Und hier nun gilt es Schneisen zu schlagen; wir können zeigen, das Viertel völlig ausgeschlossen sind. Woher weiß ich das jetzt auf einmal wieder?

    Eine Entdeckung, die mir beim empirischen Basteln gelang; ein weiterer Nagel auf Gauß seinen Sarg ( mit dem ===> 17-Eck oder " Heptadekugon " )

   Die von einer Nullstelle von ( 1 ) generierte Hornerfolge ist grundsätzlich ganzzahlig

   ( Naa; ist der Beweis des SRN vielleicht doch nicht so trivial, wie mir schon entgegen gebellt wurde? )

   Wir testen auf Viertel; ich könnte eben so gut sagen: Jedes Glied der Horjerfolge ist durch 4 teilbar. Ich breche also ab, so bald diese Teilbarkeitsbedingung verletzt ist. Für  x0 = 1/4 hättest du in ( 1ab )

     p3 ( f ) = 4   (  2a  )

     p2  (  f  ;  1/4  )  =  1/4  p3  +  a2  =  1   (  2b  )   ;  Abbruch

   und entsprechend für x0 = 3/4

    Wir gehen jetzt mit einem Ansatz in das Polynom hinein so, wie wir das bei ===> DGL schon lange gewohnt sind. Und zwar mache ich die kühne Annahme, dass (1 ) nicht nur einen RLF abspaltet, sondern vollständig zerfällt. Ich notiere noch die Normalform von ( 1 )

     f  (  x  )  :=  x  ³  +  a2  x  ²  +  a1  x  +  a0    (  3a  )

          a2  =  0  ;  a1  =  (  -  13/4  )  ;  a0  =  3/2    (  3b  ) 

   Es gibt übrigens einen pfiffigen Handshake zwischen Vieta a0 und SRN . Und zwar gehen wir wieder aus von einem primitiven Polynom ( 1ab ) ; die drei Wurzeln seien wie üblich gekürzt:

   x1;2;3  :=  p1;2;3 / q1;2;3  €  |Q    (  4a  ) 

    Dann gelten die drei Gilgamesch pq-Formeln

     p1  p2  p3  =  -  b0  =  (  -  6  )     (  4b  )

     q1  q2  q3  =  b3  =  4     (  4c  ) 

    Als Diskriminante für unseren Ratetest nehmen wir in ( 3b ) Vieta a2

     a2  =  -  (  x1  +  x2  +  x3  )         (  4d  )

   Als letzten vorbereitenden Schritt müssern wir noch die drei Vorzeichen vergeben; dafür gibt es die cartesische Vorzeichenregel ( Tröste dich; auch uns Studenten wurde sie vorenthalten. )

    x1  <  0  <  x2  <  =  x3       (  5  )

    So; nach so viel Teorie fangen wir aber wirklich an. Wir raten immer die einzelne negative Wurzel; und zwar zunächst die 4 ganzzahligen Möglichkeiten, wie vom SRN gefordert. x2;3 folgen entsprechend aus ( 4bc )

         x1 = ( - 6 ) ; x2;3 = 1/2 ; a2 = 5       (  6a  ) 

 (*)    x1 = ( - 3 ) ; x2 = 1/2 ; x3 = 2/2       (  6b  ) 

   Wie in der Sprachlehre habe ich die nicht existierende Form ( 6b ) mit einem Stern markiert; stets war in ( 4a ) gekürzte Darstellung voraus gesetzt.

   x1 = ( - 2 ) ; x2 = 1/2 ; x3 = 3/2 ; a2 = 0     (  6c  )   ; ok

(*)    x1 = ( - 1 ) ; x2 = 1/2 ; x3 = 6/2       (  6d  ) 

(*)    x1 = ( - 1 ) ; x2 = 2/2 ; x3 = 3/2       (  6e  ) 

    Jetzt verbleiben noch drei halbzahlige Darstellungen:

     x1 = ( - 3/2 ) ; x2 = 1/2 ; x3 = 2 ; a2 = ( - 1 )     ( 7a )

     x1 = ( - 1/2 ) ; x2 = 1/2 ; x3 = 6 ; a2 = ( - 6 )     ( 7b )

     x1 = ( - 1/2 ) ; x2 = 3/2 ; x3 = 2 ; a2 = ( - 3 )     ( 7c )

   Jetzt ist Endspurt angesagt; in ( 3b ) bleibt noch Vieta a1 zu überprüfen:

   a1  =  x1  (  x2  +  x3  )  +  x2  x3    =    (  8a  )

     =  -  2  (  1/2  +  3/2  )  +  1/2  *  3/2   (  8b  )   ;  ok

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  Ich nehme mir jetzt dein zweites Polynom vor; Schüler fragen ja immer: Was sind die wichtigsten Formen eines Polynoms? Vom Standpunkt des SRN lautet die Antwort ganz einfach: die primitive Form ( PF ) so

wie die Normalform.

   Dem entsprechend habe ich die Notation
in meiner Antwort vereinheitlicht;  vielleicht hast du es ja bemerkt. Die Koeffizienten der Normalform heißen immer a ( i ) ; und bei PF nehme ich b ( i ) Dein zweites Beispiel muss also notiert werden

   b3 = 4 ; b2 = ( - 8 ) ; b1 = ( - 11 ) ; b0 = ( - 3 )     (  2.1a  )

     a2 = ( - 2 ) ; a1 = ( - 11/4 ) ; a0 = ( - 3/4 )     (  2.1b  )

  
Noch schnell ein Seitenhieb auf die Gaußianer - bist du schon Student? Die einzigen ernst zu nehmenden Algebratexte sind Artin und v.d. Waerden ( 1930 ) Kläre mal ab, ob die überhaupt etwas von einem SRN wissen.

  

Was ist bei dem zweiten Beispielpolynom ähnlich? Entsprechend ( 1.2ab ) sind auch hier Viertel nicht möglich ( woraus an sich noch nicht folgt, dass überhaupt RLF abspalten )

    Wieder setze ich auf die Strategie, dass ( 2.1ab ) vollständig zerfällt. Mittels cartesischer Vorzeichenregel ( CV ) ist auch hier das Vorzeichen der zu ratenden Nullstelle zu bestimmen; diesmal ist es Plus. Machen wir uns nichts vor; die CV stellt eine erste Hürde dar. Es gibt Polynome, denen du direkt über die CV ansiehst, dass sie gar nicht zerfallen KÖNNEN .

   Was sich vereinfacht hat: Dass das Absolutglied 3 prim ist, macht die Sache überfsichtlicher.

   x1 = ( - 3/2 ) ; x2 = ( - 1/2 ) ; x3 = 1 ; a2 = 1     ( 2.2a )

   x1;2 = ( - 1/2 ) ; x3 = 3 ; a2 = ( - 2 )     ( 2.2b )   ;  ok

    x1 = ( - 3 ) ; x2 = ( - 1/2 ) ; x3 = 1/2 ; a2 = 3    ( 2.3a )

    x1 = ( - 3/2 ) ; x2 = ( - 1 ) ; x3 = 1/2 ; a2 = 2    ( 2.3b )

    x1 = ( - 1 ) ; x2 = ( - 1/2 ) ; x3 = 3/2 ; a2 = 0   (  2.3c  )

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