Was wird bei sinus usw. genau gerechnet?

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5 Antworten

Der Taschenrechner hat da so seine Algorithmen, mit denen er Sinus-, Kosinus- und Tangenswerte berechnen kann.

Dafür wird beispielsweise die Taylorreihe zur Approximierung eines Sinuswertes verwendet, das ist aber von Hand so umständlich, dass es keiner verwenden würde.

Wenn du einen Sinuswert im Kopf berechnen musst, würde ich dir eher empfehlen, ein rechtwinkliges Dreieck mit dem entsprechenden Winkel zu zeichnen und den Sinuswert dort ungefähr am Verhältnis zwischen Gegenkathete und Hypotenuse abzulesen.

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Der Sinus als auch seine "Kollegen" sind im Endeffekt nichts anderes als Funktionen:

f(x) = sin(x) 

Berechnest du nun z.B. den Sinus von 90, sieht das eben so aus:

f(90) = sin(90)

f(90) = 1

Beim Kosinus geht das dann eben ziemlich genau so, nur ist das Ergebnis halt anders:

f(x) = cos(x) 

f(90) = 0

Deswegen gibt es z.B. in der linearen Algebra und analytischen Geometrie (also Vektorgeometrie etc) auch folgendes:

Ist das Skalarprodukt gleich null, so sind die Vektoren zueinander orthogonal. Das heißt einfach gesagt, sie haben einen rechten Winkel. Das ganze eben, weil man die Winkel mit dem Kosinus berechnet und der Kosinus von 90 wie oben steht 0 ist.

Mehr dazu kannst du hier finden:

http://www.mathebibel.de/sinusfunktion

http://www.mathebibel.de/kosinusfunktion

Falls du etwas in der Klausur dafür können musst, empfehle ich dir vor allem die Transformation zu beachten und zu lernen. Dazu zählen dann z.B. auch Begriffe wie Amplitude, Periode, Hochpunkt, Tiefpunkt, Nullstellen und ebenso musst du mit dem Pi etwas anfangen können.

Wenn du nun allerdings wirklich ganz genau wie der Taschenrechner den Sinus usw. berechnen möchtest, wirst du nicht weit kommen. Wie genau das geht, weiß auch ich nicht. Allerdings gibt es dazu Algorithmen, und die sind sicherlich nicht einfach zu beherrschen und die lernt man auch in der Schulmathematik nicht. Für solche Dinge haben wir dann wirklich auch mal den Taschenrechner! ;)

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Liebe Grüße

TechnikSpezi

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Wie die Taschenrechner das im Detail wirklich intern durchführen, ist sehr raffiniert und beruht z.B. nicht auf Taylorreihen, wie hier viele meinen.

Ich würde da etwa auf die CORDIC-Algorithmen hinweisen, die zwar sehr effizient sind, sich aber für das Berechnen "von Hand" kaum eignen. 

https://de.wikipedia.org/wiki/CORDIC

Man sollte die wichtigsten Werte (für 0°, 30°, 45°, 60°, 90°, ......) im Kopf haben oder auch mittels Pythagoras herleiten können. Davon ausgehend kann man dann mittels Halbwinkelformeln und mittels Newtonverfahren wenigstens näherungsweise auch weitere Werte ermitteln.

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Normalerweise werden die transzendenten Funktionen mit Hilfe von abgebrochenen Taylorreihen approximiert, manchmal auch mit Wertetabellen.

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