Was verbindet ihr mit Unendlichkeit? Definition?

9 Antworten

Hallo LinoSiebel,

Was verbindet ihr mit Unendlichkeit?

als ziemlich visueller Mensch kommt mir dabei ein Bild mit einem Fraktal oder ausgeprägter Zentralperspektive in den Sinn, etwa ein fiktives Gebäude oder ein fiktiver Korridor, dessen Linien ich in einem Fluchtpunkt zusammenlaufen sehe.

Nun sind Linien bzw. geraden theoretisch unendlich (!) dünn und Punkte überhaupt unendlich (!) klein, was sich ohnehin darstellerisch nicht realisieren, sondern nur annähern lässt. So muss der Korridor nur lang genug sein, damit ich seine Länge von einer unendlichen nicht mehr unterscheiden kann.

Damit kommen wir dazu, dass in der realen Welt, in der Physik Unendlichkeit sowohl im Großen als auch im Kleinen praktisch immer eine Idealisierung darstellt. Interessanterweise kann man mit ihr oft einfacher umgehen als mit endlichen Größen. Idealisierung macht vor allem das Rechnen einfacher.

Die eigentliche „Heimat“ des Unendlichen ist natürlich die Mathematik. Sie muss sich nicht um die physische Realität einer Sache kümmern, sondern nur um widerspruchsfreie Definitionen und Axiome sowie die Herleitung von Schlussfolgerungen, die man je nach Bedeutung Lemmata, Sätze oder Theoreme nennt.

Mehr geht immer

Bevor wir zu einer Definition des Unendlichen kommen können, müssen wir und überlegen, warum es das überhaupt geben muss, z.B. über die Menge N der Natürlichen Zahlen.

Es gibt keine größte Natürliche Zahl. Zu einer Zahl n∈N gibt es auch (n+1)∈N. Deshalb gibt es unendlich viele Natürliche Zahlen. Deshalb kann die „Anzahl“ aller Natürlichen Zahlen, also aller Elemente der Menge N, deren sog. Mächtigkeit oder Kardinalität card(N) bzw. |N|, selbst keine Natürliche Zahl sein.

Auch das Symbol für das Unendliche, ,∞‘, steht nicht für card(N). Es steht für das potential Unendliche. Im Ausdruck ,n→∞‘ im Zusammenhang mit einer Folge (a_n) steht es dafür, dass a_n für jedes n∈N definiert ist. Wenn sich a_n mit wachsendem n immer weniger von einer bestimmten Zahl a unterscheiden, heißt a der Grenzwert von (a_n), man schreibt

.

Eine konkrete Quantität bezeichnet ‘∞’ zumindest „von hause aus“ nicht. Etwas konkreter sind die…

…Kardinalzahlen.

Sie bezeichnen die Mächtigkeit einer Menge, ggf. mit unendlich vielen Elementen. Zwei Mengen heißen gleichmächtig, wenn es zwischen ihnen eine Bijektion, eine 1:1-Abbildung gibt.

G. CANTOR fand heraus, dass die Menge aller Geraden Zahlen und selbst die Menge aller Quadrat-, Kubik-, … -Zahlen genauso mächtig ist wie N, auf der anderen Seite aber sogar die Menge Q der Rationalen Zahlen. Die zugehörige Kardinalzahl wird |N| oder ℵ₀ genannt.

Über das Diagonalargument konnte Cantor ferner zeigen, dass die Mächtigkeit der Reellen Zahlen, |R|, größer ist als ℵ₀; sie wird gern mit ℵ oder 𝖈 bezeichnet. Generell ist die Potenzmenge ℘(X) einer beliebigen Menge X stets mächtiger als X selbst, und so gibt es unendlich viele Kardinalitäten. Allerdings ist die Kardinalität, wenn sie unendlich ist, gegen die Intuition nicht von der Dimension abhängig. Außerdem hat jedes noch so kleine echte Intervall von R die Kardinalität 𝖈.

Definition?

Man kann also als Definition anführen, dass eine Menge X dann unendlich heißt, wenn es echte Teilmengen von ihr gibt, die dieselbe Mächtigkeit besitzen.

Neben den Kardinalzahlen gibt es noch die…

…Ordinalzahlen.

Sie lassen sich mit geordneten Mengen identifizieren. Die erste transfinite OZ wird mit ω bezeichnet und lässt sich als die geordnete Menge der Natürlichen Zahlen auffassen. Die Addition von OZ ist derart definiert, dass sie bei zwei endlichen Ordinalzahlen mit der üblichen Addition identifiziert werden kann. Ist allerdings eine transfinite OZ im Spiel, so ist die Addition nicht länger kommutativ, z.B. ω+1≠1+ω.

Die transfinite Arithmetik der OZ wird hier näher beleuchtet:

https://de.m.wikipedia.org/wiki/Transfinite_Arithmetik

Hyperreelle Zahlen

Schließlich gibt es auch die ab 1961 von A. ROBINSON et al. entwickelte Nichtstandard-AnaIysis, die sowohl infinitesimale als auch unendliche Hyperreelle Zahlen kennt.

Die Menge aller Hyperreellen Zahlen wird *R genannt und ist ein Körper, also eine Zahlenmenge, in der wie in R selbst alle Axiome der Addition und der Multiplikation gelten und mithin auch Division (außer durch 0) definiert ist. Ist α eine beliebige Hyperreelle Zahl (die auch unendlich sein kann), so ist

α + 1 = 1 + α > α.

Es gibt also sehr viele dicht beieinanderliegende und doch sehr unterschiedliche „Unendlichs“, ähnlich wie bei den Ordinalzahlen. Die Hyperreellen Zahlen machen Vieles einfacher. Unter anderem vereinfachen sie die Definition der Stetigkeit. Auch hier bietet sich eine Definition für Unendlichkeit an: α∈*R heißt

  • unendlich, wenn α>n für alle n∈N, und
  • infinitesimal, wenn α<(1/n) für alle n∈N.

Division durch 0…

…ist nirgends definiert. Das Problem liegt ganz offensichtlich nicht in der Unendlichkeit eines Kehrwertes von 0, sondern darin, dass dieser nicht eindeutig wäre - und das liegt wiederum daran, dass die 0 der große „Plattmacher“ unter den Zahlen ist: Was immer man mit 0 multipliziert, es kommt 0 heraus.

Woher ich das weiß:
Studium / Ausbildung

Für mich gibt es auch keine wirkliche Unendlichkeit. Man sollte sich unendlich weniger als statische Größe, sondern als dynamischen Prozess vorstellen.

Nimm ein Programm vor, welches dir auf dem Bildschirm eine Zahl ausgibt. Diese Zahl wird mit jedem Durchgang erhöht, so dass 1..2..3..4..5.. usw. gezählt wird. Dies ist für mich unendlich, zu jedem Zeitpunkt endlich, aber alle natürlichen Zahlen irgendwann übersteigend.

Mit dieser Vorstellung kannst du auch Unendlichkeiten miteinander verrechnen. Eine Unendlichkeit wäre z.B. i=i+1 (Pseudocode, in einer Endlosschleife) und die andere wäre z.B. j=j^2.

Beide Zahlen i und j wären unendlich, aber unabhängig vom aktuellen Wert übersteigt die Unendlichkeit j irgendwann die Unendlichkeit i.

Unendlichkeit kann man auf mehrere Bereich auslegen, was mir primär beim Wort Unendlichkeit durch den Kopf schießt die Aussicht vom Gipfel eines Berges von wo aus ich bis zum Horizont sehen kann.

Vom Gipfel eines Berges kann man weit sehen, aber Unendlichkeit ist das noch lange nicht.

0

Wenn das Universum unendlich ist, widerlegt das doch automatisch die Theorie des Urknalls, oder?

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