Was sind Rotationskörper?

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5 Antworten

Hallo,

zeichne ein Koordinatensystem und verbinde die 2 auf der y-Achse mit der

3 auf der x-Achse durch eine gerade Linie. Es entsteht ein rechtwinkliges Dreieck. Eine Kathete liegt zwischen 0 und 2 auf der y-Achse, die andere zwischen 0 und 3 auf der x-Achse, während die Verbindungslinie die Hypotenuse darstellt.

Nun stell Dir vor, daß dieses Dreieck mit der x-Achse auf einer Bohrmaschine steckt, die das ganze Ding um diese waagerechte Kathete rotieren läßt.

Die Kathete auf der x-Achse selbst verändert sich dabei nicht. Die andere Kathete - die auf der y-Achse - verschwimmt zu einem Kreis mit dem Radius 2, die Hypotenuse bildet den Mantel eines Kegels, so daß dieses Dreieck durch die schnelle Rotation wie ein Kegel erscheint. Die Höhe ist 3, der Radius der Grundfläche 2.

Was mit einer geraden Linie funktioniert, geht auch mit Kurven, etwa einer Normalparabel, deren positiver Zweig um 90° nach rechts gekippt und anschließend an der x-Achse gespiegelt wird, so daß Du eine Kurve hast, die bei 0 schnell ansteigt und dann immer flacher wird.

Du schneidest diesen Parabelzweig bei x=10 oder wo auch immer ab, steckst das Ding mit der x-Achse wieder auf die Bohrmaschine und schmeißt den Rotor an. Jetzt erscheint ein Körper, der wie ein Tulpenkelch aussieht, ein Rotationsparaboloid. 

Das funktioniert mit jeder Kurve oder Geraden, die Du in ein Koordinatensystem einzeichnest (möglichst in den ersten Quadranten).

Das Volumen dieses Rotationskörpers kannst Du mit der Integralrechnung berechnen, wenn Du die Funktionsgleichung Deiner Kurve kennst.

Pi mal Integral von (f(x))² liefert Dir, wenn Du die entsprechenden Grenzen einsetzt, das Volumen dieses Körpers.

Diese Formel gilt nur, wenn die Kurve um die x-Achse rotiert, deshalb mußt Du oft Umkehrfunktionen bilden (bei Parabeln zum Beispiel), die den Graphen so spiegeln, daß er im ersten Quadranten liegt.

Bildest Du nicht die Umkehrfunktion bei einer Parabel, erhältst Du auch einen Rotationskörper. Dieser ist dann aber nicht wie ein Kelch geformt, sondern wie eine Art Trichter, dessen Wände sich nach außen wegwölben.

Zeichne es DIr auf und bring die x-Achse gedanklich zum Rotieren, dann verstehst Du, was ich meine (oder spiel ein wenig mit der Bohrmaschine herum).

Herzliche Grüße,

Willy

Welche Sprache solls denn sein außer Hochdeutsch;)  

Schau dir doch die Bilder dazu an, die versteht man echt gut.

Es ist der Körper der entsteht wenn man zB eine Linie um 360 Grad um eine Achse dreht. 

 zb wird  ein C um 360 grad gedreht,entsteht eine Art Apfelform

ein P wird ein Lolli

In der mathematik kann man so Punkte im Raum um den selben Abstand auf der y Achse versetzt darstellen(wenn an der x Achse gedreht wurde).

Gibt bestimmt super viele Anwendungsmöglichkeiten

In der 3D animation ist da zb super hilfreich um schnell Körper zu generieren

Ausgangspunkt ist eine Funktion. z.B eine Parabelfunktion f(x)=x^2

Wenn du nun diese Funktion um die y- Achse drehst erhältst du einen Rotationskörper. Also eine Art "Schale" 

Andere Rotationskörper wären der Kegel (Dreieck), Zylinder(viereck) oder der Torus(Kreis)

Kannst du das Teil um eine Achse drehen und es sieht immer noch gleich aus?
Dann ist es ein Rotationskörper und die Achse nennt man Symmetrieachse.

Und irgendwann lernst du in der Schule auch, wie du mit Integration und ner bestimmten Formel aus einer f(x) Funktion einen hübschen Rotationskörper basteln kannst! :-D
(bzw. dessen Volumen bereichnen kannst)

Das ist die mathematische Bezeichnung für Körper, wie man sie beim Drehen, Drechseln und Töpfern auf der Scheibe herstellt. Sie sind nicht dafür da, in der Mathematik etwas zu bringen, sondern die Mathematik bringt Hilfsmittel dafür, solche Körper, wo man in der Technik mit ihnen umgeht, besser beschreiben und ihre Eigenschaften wie Rauminhalt, Oberfläche, Trägheitsmoment, Festigkeit usw. berechnen zu können.


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