Was sind mehrdimensionale Funktionen und was sind partielle Ableitungen?

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2 Antworten

In der Schule betrachtet man in der Regel nur Funktionen von |R -> |R. Also du gibst eine Zahl rein und bekommst eine Zahl raus. Man kann aber auch über Funktionen von |R^m -> |R^n reden. Die Sache mit Maxima, Minima usw kann dabei beliebig kompliziert werden. 

Relativ anschaulisch sind noch Funktionen vom |R^2->|R. Das heißt du gibst in deine Funktion keine Zahl, sondern einen Vektor mit zwei Komponenten.

Das hier wäre z.B. eine solche Funktion: f(x,y)=sin(x)*cos(y)

http://www.wolframalpha.com/input/?i=plot[sin(x)*cos(y)]

***Den Wolframalpha Link komplett kopieren inklusive der eckigen Klammern zum Schluss***

Die partiellen Ableitung davon wären dann die ganz normalen Ableitungen, wie sonst auch, bloß betrachtet man einmal x als die Variable und y als Konstante und einmal x als Konstante und y als als Variable. Der daraus entstehende Vektor heißt im Falle |R^2->|R auch gradient und zeigt in die Richtung des höchsten Anstieges. 


Viel mehr kann man dazu jetzt hier nicht schreiben, denn das würde irgendwie den Rahmen sprengen, da das Thema mehrere Vorlesungen an der Uni füllt und man dazu auch noch ein paar mehr Grundlagen braucht.

Die partiellen Ableitungen sind die dir gewöhnliche Ableitungsfunktionen aber nur in eine richtung. Das bedeutet wenn du auf einer gekrümmten Fläche sich bspweise befindest dann hängt ja deine Steigung von der Richtung ab. Partielle Ableitungen sind die spiezielle Formen einer Richtungsableitung, wobei in Richtung der Komponente abgelitten wird, z.B. in x-Achse Richtung oder y-Achse Richtung. Allgemeiner sagt man die partiellen Ableitungen sind die Richtungsableitungen in Richtung eines Basisvektors. 

User48572 29.11.2016, 17:20

Okay. D. h. ich habe ein Bild vor mir, also ein Dreidimensionales Koordinatensystem und dort kann ich entsprechend sehen, in welche richtung ich ableiten muss. 

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User48572 29.11.2016, 17:20
@User48572

Was ist aber genau ein basisvektor? kanst du das auch noch definieren? Dankeschön.

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gigrais 29.11.2016, 17:25
@User48572

Naja R^n ist doch ein Vektorraum über R. Also gibt es auch endliche Basis. Für die partiellen Ableitungen sind so definiert dass du unbedingt die Standardbasis von R^n nehmen muss. Das sind die Vektoren der Länge 1 und mit einer 1 in der iten Komponente sonst 0. ist stehts eine Orthonormalbasis.

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