was sind grenzwertsätze?

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1 Antwort

Eine Folge besitzt einen Grenzwert wenn sie konvergiert. 

Zum Beispiel konvergiert die Folge:

a(n) = 1/n   gegen 0 und wird daher als Nullfolge bezeichnet mit dem Grenzwert 0. 

Also in anderer Schreibweise:  lim(a(n)) = 0 (für n ---> +inf)

Nun gibt es ein paar Elementare Aussagen über die Grenzwerte von Folgen:

Seien a(n) und b(n) nun konvergente Folgen, dann gilt:

i) lim(a(n)) + lim(b(n)) = lim(a(n) + b(n) )

ii) lim(a(n)) * lim(b(n)) = lim(a(n)*b(n))

iii) lim(a(n))/lim(b(n)) = lim(a(n)/b(n))  für b(n) keine Nullfolge

also im Endeffekt:   lim(b(n)^-1) = (lim(b(n))^-1  für b(n) keine Nullfolge

Wobei i) und ii) eigentlich somit das wichtigste sind. Also wenn du dann zum Beispiel eine Folge hast der Form:

a(n) = (3n² + 4n)/(5n² -2) 

Und du möchtest jetzt wissen, wie der Grenzwert von dieser Folge aussieht, dann kannst du einfach die Grenzwertsätze darauf anwenden, in diesem Fall zum Beispiel:

lim(a(n))[n--> +inf] = lim[ (n²/n²)*(3 + 4/n)/(5 - 2/n²) ](n--> +inf)

Und das ist ja nach Anwenden der Grenzwertsätze:

lim(3 + 4/n)*(lim( 5 - 2/n²))^-1  = [lim(3) + lim(4/n)] * [lim(5) - lim(2/n²)]

Nun wissen wir, dass 4/n und 2/n² Nullfolgen sind, daher vereinfacht sich die Grenzwertbestimmung zu:

lim(3)*(lim(5)^-1) = 3/5

Also folgt daraus:

lim(a(n))[n--> +inf] = 3/5

Übrigens sind Ausdrücke wie: 0*inf , inf*1/inf , 0/0, nicht definiert und lassen keinen Schluss auf den tatsächlichen Grenzwert zu.

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Kommentar von kokosc
18.01.2016, 19:57

vielen vielen dank

und wie verwendet man die grenzwersätze bei der formel : (-1)^n/n

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