Was sind Funktionsscharen?

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1 Antwort

Grob gesagt ist eine Funktionenschare eine Menge von Funktionen, die alle ähnliche Eigenschaften haben (in welcher Weise diese Funktionen ähnlich sind, ist dabei nicht vorgegeben ^^). Meist hängen sie dabei von einem oder mehreren (nicht konkret definierten) Parametern ab.

Eine normale Funktion, die man aus der Schule kennt, hängt nur von einer Variablen ab, zum Beispiel die Normalparabel f(x) = x². Man kann mit dieser Funktion eine Kurvendiskussion durchführen und sie dann in einem Koordinatensystem eindeutig einzeichen.

Nun könnte man diese Normalparabel aber auch noch mit einem konstanten Faktor versehen, etwa

f(x) = ax², wobei a irgendeine reelle Zahl sein soll, die nicht 0 ist. Wenn man jetzt versucht, die Parabel zu zeichnen, stößt man auf ein Problem. Da dieses a nicht eindeutig ist, ist auch die Funktion nicht eindeutig. Die Parabel könnte nach oben oder unten geöffnet sein, sie könnte gestreckt oder gestaucht sein...

Fasst man alle Funktionen zusammen, die diese Form f(x) = ax² haben, erhält man eine Funktionsenschar mit Parameter a. Diese Funktionen sind insoweit ähnlich, dass sie alle die x-Achse im Koordinatenursprung berühren, nicht beschränkt sind, eine konstante Krümmung haben, achsensymmetrisch zur y-Achse sind etc...

was man damit macht?

Zum Beispiel kann man mit f(x) = ax² eine Kurvendiskussion durchführen, wobei man a als konstant annimmt. Dann kennt man für jede einzelne Funktion dieser Art die besonderen Eigenschaften und muss das nicht mehr im Einzelnen durchführen (Mathematiker sind stets darum bemüht, mit einer einzigen Rechnung ein möglichst allgemeines Ergebnis zu erhalten, damit sie bei später auftauchenden Spezialfällen nicht noch einmal dieselbe Rechnung nur mit anderen Zahlen machen müssen...)

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