Was sind die wichtigsten Fakten/Punkte über die Mandelbrot-Menge und warum ist sie für die Chaos-Theorie so wichtig?

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2 Antworten

Die „Mandelbrot-Menge“ beschreibt die topologische Menge aller Punkte in einer fraktalen (komplex-chaotischen) Topografie (impliziter Juliamengen), deren mathematischer Wert durch bestimmbare (definierte) iterative Zahlenfolgen eine Infinität verhindert und somit Erkennbarkeiten als attraktoriale Muster aufzeigbar macht.

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Besonders eindrucksvoll kann dies an einem mathematischen Konstrukt gesehen werden, das Mandelbrot 1980 entdeckt hat und das seitdem als(EXTERN) Mandelbrot-Menge bezeichnet wird. Diese Menge ist ein Paradigma für Ordnung und Chaos. Sie ist die Menge aller Punkte, die auf einer unendlich feinen Grenzlinie liegen. Ihre wohl faszinierendste Eigenschaft ist jedoch, daß sie als Bildlexikon für unendlich viele Algorithmen interpretiert werden kann. Sie ist damit ein fraktaler Bildspeicher von schier unfaßbarer Effizienz und Organisation. Die Mandelbrot-Menge ist definiert als die Menge aller Punkte c in der komplexen Ebene, die (als Kontrollparameter) zu einer zusammenhängenden Julia-Menge gehören. Das heißt, man erhält ein computergraphisches Bild der Mandelbrot-Menge, wenn man für jeden c-Wert, für den die zugehörige Julia-Menge zusammenhängend ist, einen schwarzen Punkt setzt. Die Mandelbrotmenge ist das Maskottchen der Chaosforschung.
http://www.humboldtgesellschaft.de/inhalt.php?name=chaos

bitte schön ;)

PS: Ich bewerfe einen schmetterling im brasilianichen regenwald mit mandelbrot weil er mit einem flügelschlag meine heimatstadt in deutschland dem erdboden gleich machen kann...

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ccnflavour14 03.06.2016, 15:12

Danke für die schnelle Hilfe aber in wie weit ist dir Menge chaotisch?

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BananenXD 03.06.2016, 15:28
@ccnflavour14

Ein wesentliches Ergebnis der Chaosforschung ist die Entdeckung, dass chaotische Systeme trotz ihres langfristig nicht vorhersagbaren, scheinbar irregulären Verhaltens bestimmte typische Ordnungsmuster (vgl. auch Kapitel 5.2) zeigen. Da sie bei völlig unterschiedlichen Systemen beobachtet werden, sind sie von universeller Bedeutung. Die Mandelbrot-Menge, im allgemeinen Sprachgebrauch oft auch Apfelmännchen genannt, ist ein Fraktal, das in der Chaostheorie eine bedeutende Rolle spielt.
http://synergetik-institut.de/5-Chaostheorie.html

Vor Mandelbrot konnte die Mathematik eigentlich nur perfekt glatte Objekte beschreiben: Kreis, Würfel oder Dreiecke. Plötzlich ließen sich aber nicht nur verschiedene Arten von Rauhigkeit sondern auch unterschiedliche Grade von Chaos präzise unterscheiden. Die Theorien von den Fraktalen und vom Chaos hängen eng zusammen.
http://www.welt.de/wissenschaft/article10361079/Mandelbrot-bewies-die-Schoenheit-der-Mathematik.html

bei weiteren fragen hilft google: Mandelbrot-Menge Chaos-Theorie

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Ottavio 03.06.2016, 17:56
@BananenXD

Danke für die Anhängsel, sie sind sehr interessant, auch wenn ich im Moment nicht dazu komme, sie en detail durchzuarbeiten.

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bitbuerster 05.06.2016, 00:09
@ccnflavour14

Ich versuche es mal mit einer einfacheren Erklärung, auf dass das hier auch für Menschen mit einem IQ von ~100 verständlich bleibt.. ;-)

Also: Die Mandelbrotmenge entsteht dadurch, dass man eine (vergleichsweise einfache) mathematische Funktion nimmt, sie auf einen Startwert als Eingabe loslässt und die Funktionsausgabe gerade wiederum als neuerlichen Startwert verwendet -und das immer wieder (="Iteration"). Die sich so ergebende Zahlenfolge beobachtet man: Entweder, sie läuft auf einen fixen Wert zu und verharrt dort dann (was man dann einen "Attraktor"-Wert nennt); oder sie läuft gegen unendlich.

Die dabei verwendete Funktion ist die simple Quadratfunktion, also: f(x) = x^2 + c , wobei "c" irgendeine numerische Konstante ist.

Die berühmten "Apfelmännchengrafiken" kommen nun zustande, in dem man o.g. Iteration über alle möglichen Punkte x durchführt und für jeden Punkt farblich darstellt, ob er gegen einen Attraktor konvergiert bzw. wie schnell er gegen unendlich läuft.

Der einzige etwas schwierigere Teil besteht darin, dass man dabei nicht mit den uns vertrauten reellen Zahlen rechnet, sondern mit den sog. "komplexen" Zahlen. Denn in dem Fall besteht jede Zahl aus *zwei* Anteilen, dem sogenannten "Real"-Anteil und einem sog. "Imaginär"-Anteil. Das muss man hier in dem Zusammenhang jetzt nicht weiter verstehen, als dass man sich jede komplexe Zahl aufgrund ihrer zweier numerischen Komponenten damit auch als Punkt (x,y) einer Bildebene vorstellen kann: Dadurch wird das Ergebnis also farbiges *zweidimensionales* Farbbild.

Das "chaotische" an dieser Quadratfunktion kann man sich aber auch schon so im simplen reellen Zahlenraum veranschaulichen! Nehmen wir dazu mal den allereinfachsten Fall und setzen die Konstante "c" auf 0. Damit lautet die zu iterierende Funktion somit:

f(x) = x^2

Wer sich das mal mit ein paar Ausgangswerten durchdenkt, wird schnell merken:

- jede Ausgangszahl x grösser 1.0 oder kleiner als -1.0 strebt bei den Iterationen gegen unendlich
- 0 ist ein Attraktor, denn alle Zahlen im Bereich (-1 .. +1) streben gegen 0
- die beiden Werte x=-1 und x=+1 selbst streben gegen den Attraktor +1 (=bereits nach einer Iteration stabil)

Recht übersichtlich also: Es gibt auf dem reellen Zahlenstrahl somit nur die 3 "Sonderwerte" -1; 0; +1 die ein stabiles Verhalten zeigen; verwendet man dagegen komplexe Zahlen, dann wird das Verhalten chaotisch: Die (komplexen) Zahlen, welche stabil gegen einen Attraktor konvergieren, lassen sich nicht mehr so simpel vorhersagen -sie bilden zusammen die "Grenzlinie", welche in den Apfelbrotmännchen-Grafiken in einer speziellen Farbe (typischerweise schwarz) dargestellt werden.

Machen wir also ein Gedankenspiel: Würdest Du Dich z.B. als Wanderer in dieser Zahlenebene sehen und stündest gerade auf einem solchen "stabilen" Punkt (a,b) , der gegen einen Attraktor konvergiert, dann gäbe es für Dich keine Chance, hervorzusehen, ob ein auch noch so winziges Schrittchen in irgendeine Richtung der Ebene immer noch "stabiles Land" wäre oder ob Du gleich in ein unendliches Loch fielest -das ist das chaotische an dieser Mandelbrotmenge

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henzy71 03.06.2016, 15:16

WOW. Ich habe einen IQ von 119. Da der Durchschnitt bei 100 liegt bin ich wohl leicht überdurchschnittlich intelligent und trotz der Tatsache, dass ich Niederländer bin, bin ich auch der deutschen Sprache mächtig, aber von deinem Text versteh ich maximal die Hälfte..... und ccnflavour14 hat die Frage wohl dem Thema "Schule" untergeordnet. Wenn das neuerdings Schulstoff ist, dann lass ich mir sowohl mein Abitur als auch mein Diplom aberkennen.

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Ottavio 03.06.2016, 15:32
@henzy71

Im Rahmen einer Projektwoche war das in meiner Schule tatsächlich einmal Thema eines Schulprojektes. Ich habe an der Projektgruppe auch teilgenommen, zwar als Lehrer, aber nicht als Projektleiter, nur als Lernender. Von diesem Text habe ich jetzt auch nicht einmal die Hälfte verstanden. Aber zu meinem Mathestudium gehörte das auch nicht.

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BananenXD 03.06.2016, 15:33
@henzy71

bei mir sind es 127 bis 131 aber ich denke es ist so schwer zu verstehen da von der humboltgesellschaft...
habe mal noch 2 einfachere texte rausgesucht und verlinkt- sollten dann auch besser für die schule passen

ps: werde nochmals mein abi anfangen müssen da ich durch krankheit leider etwas viel (19 wochen) verpasst habe- waren aber davor wohl schlechtere leistungen als du hattest o.O'...

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