Was passiert, wenn man durch Null teilt?

6 Antworten

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Die bisherigen Antworten sind (fast) alle falsch. Und Grenzwerte und L'Hospital haben hier nichts zu suchen, wo es doch nur ums Dividieren geht!

Weil Divison sowas wie bedeutet wie "Löse eine Gleichung", nämlich zB:

15=3*x

Die Lösung ist x=5, denn 3*5=15. Wir schreiben: x=15:3=5.

Allgemein: a/b bedeutet genau dasselbe wie: "Löse die Gleichung a=b*x nach x auf".

Wenn nun aber b=0 ist, dann steht da: a=0*x=0. Denn irgendwas mal 0 ist immer 0. Das heißt aber, diese Gleichung hat überhaupt keine Lösung, wenn a ungleich 0 ist.

Also kann a/0 gar keinen Wert haben, ist also nicht definiert, wenn a ungleich 0.
a/0 ist also nicht "unendlich" und "strebt" auch nicht irgendwohin (wie das in manchen Antworten falsch steht), sondern ist einfach nicht definiert.

Wie ist es aber mit a=0 (wenn b=0 ist)? Wir hätten:
0=0*x=0 Wir können für x jeden beliebigen Wert einsetzen, denn irgendwas mal 0 ist immer 0. Die Lösungsmenge ist die Menge aller Zahlen. Aber dann kann 0/0 keinen definierten Wert besitzen, denn die Division ist eine Operation und muss (genau wie Funktionen) immer ein Ergebnis liefern. Also:

Auch 0/0 ist nicht definiert, a.lso kann man niemals durch 0 teilen.

Dass man durch 0 nicht teilen kann, liegt allein daran, dass die 0 der große Plattmacher im Reich der Zahlen ist:

0·z = 0 ∀z∈ℂ (in ℂ sind die anderen Zahlenmengen enthalten).

Das macht die Multiplikation mit 0 irreversibel und ist dafür verantwortlich, dass man mit der Division durch 0 Unsinn "beweisen" kann, wie eben die Gleichheit zweier definitiv ungleicher Zahlen. Die Unendlichkeit ist nicht das Problem.

Es gibt zwei (topologische) Erweiterungen der Reellen Zahlen (https://de.wikipedia.org/wiki/Erweiterte_reelle_Zahl),

die affine Form ℝ̅ = ℝ∪{–∞, ∞} und
die projektive (sozusagen kreisförmig geschlossene) Form ℝ* = ℝ∪{∞}
(nicht zu verwechseln mit *ℝ, s.u.),

in denen die uneigentlichen Punkte bzw. der uneigentliche Punkt die Rolle von Quasi-Kehrwerten bzw. eines Quasi-Kehrwertes der 0 behandelt werden bzw. wird. Insbesondere die zweite Form hat eine komplexe Entsprechung, die Riemannsche Zahlenkugel.

Arithmetisch lassen sich diese Mengen jedoch nur mit Einschränkungen so als Zahlenmengen auffassen wie gewohnt, sie bilden insbesondere keine Körper (Zahlenmenge, in der man so rechnen kann wie in ℝ oder ℂ)

Sehr wohl ein Körper ist *ℝ, die Menge der Hyperreellen Zahlen.

Dort gibt nicht ein "unendlich", sondern (unendlich) viele unendlich große Zahlen, die im Rahmen der Nichtstandard-Analysis über gewisse bestimmt divergente Folgen definiert werden. Jede von ihnen hat einen Kehrwert, der natürlich infinitesimal - also unendlich nahe bei 0 - aber nicht selbst gleich 0 ist. Durch 0 kann man auch in der Nichtstandard-Analysis nicht teilen.

Dazu müsstest Du eine Grenzwertbestimmung machen, also quasi lim x->0 f(x)=0/x

Wir nähern uns also mit x immer weiter gegen Null. Das Problem hier ist, dass Null durch irgendwas immer Null ist. Anders sieht es aus, wenn Du rechnest lim x->0 f(x)=1/x.

Rechnest Du zuerst 1/0,1, dann kommst Du auf 10. Rechnest Du z.B. 1/0,0000001 kommst Du auf 10.000.000. Das bedeutet, je näher Du Null kommst, desto größer wird deine Zahl.

Theoretisch wäre also 1/0=∞, sprich unendlich.

Aber wie gesagt, es gilt nur im Bereich z > 0 für f(x) = z/x.

Wir nähern uns also mit x immer weiter gegen Null.

Die Frage war nicht "Was kommt heraus, wenn ich micht der 0 annähere", sondern "Was passiert wenn man durch null teilt?". Von "Annähern" steht da nix. Von Funktionen steht da nix. Von Grenzwerten steht da nix.
Sondern nur vom Dividieren steht da was. Die Division ist die Umkehroperation der Multiplikation. Dass eine Multiplikation nicht so erweitert werden kann, dass die 0 ein inverses Element hätte, ist elementarste Algebra.

Theoretisch wäre also 1/0=∞, sprich unendlich.

Nein, theoretisch wäre 1/0 nicht definiert und ist es auch nicht. Punkt.

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@schuhmode

Punkt, Komma, Strich, fertig ist das Mondgesicht.

Mag sein, dass ich die Frage hier nicht korrekt beantwortet habe, aber Du scheinst heute irgendwie einen schlechten Tag zu haben, wenn ich mir deine patzigen Kommentare durchlese. Es geht auch freundlicher.

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@schuhmode

Mist. Ich kanns nicht lassen.

Die Frage war, "0/0=1". Und das Ergebnis ist tatsächlich richtig. Genauso wie 0/0=10 oder 0/0=3,141592654 oder 0/0=2147000000 ist.

Denn: Die Division kann man sich auch vorstellen als die Frage, wieoft ich z.B. bei 12/3 die drei von der Zwölf abziehen kann bis ich auf 0 komme. Das Ergebnis ist hier vier. Bei der Division 0/0 wäre also die Frage, wieoft ich die 0 von der 0 abziehen muss um auf 0 zu kommen. Das Ergebnis: Jede Anzahl an Operationen führt zum gewünschten Ergebnis. Es sei ja auch als Umkehroperation 0*x=0. Für x kann ich jeden beliebigen Wert einsetzen um auf Null zu kommen.

Für eine andere Division durch 0, also a/0=b wobei a!=0 ist wäre es natürlich anders zu betrachten, da b*0=a sein muss. Wenn wir uns aber den Grenzwert ansehen... nun... da haben sich schon Generationen darum gestritten. Für Euler war jedenfalls 1/0=unendlich. Und 2/0 war sogar 2x unendlich!

Tatsache ist, dass die Definition einer Division nur vermieden werden sollte. Es ist aber nicht verboten oder Regel-unkonform. Nach dem IEEE Schema für Fließzahlen im Computer ist es sogar amtlich definiert, dass x/+0=+unendlich und x/-0=-unendlich ist wenn x größer Null ist. Bei x kleiner Null negiert sich das Ergebnis.

1/0 ist also nicht undefiniert, sondern es wird lediglich empfohlen es als undefiniert anzusehen.

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