Was passiert mit du/2 bei Integralrechnung?

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3 Antworten

Die kannst du einfach vor das Integral ziehen.

Problematisch wäre nur wenn du zB dx = du/x bekommst und das x nicht wegfällt (allgemein dx = du/f(x))

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Du rechnest mit diesen Differentialen wie bei einer Multiplikation.
dy/dx = dy/du * du/dx

Das erlaubt, die Differentiation teilweise durch die Multiplikation abzubilden, vor allem bei Substitutionen.

dx = du/2     kann dann auch umgeformt werden in
du = 2 dx

Und was du mit Konstanten beim Differenzieren und Integrieren tun kannst, weißt du ja sicher.

BTW: man kann auf diese Weise dann auch schreiben
y' = dy/dx

Das erlaubt nun wiederum, die Ableitungsregel in einer Zeile zu schreiben:
d(xⁿ) / dx = n xⁿ⁺¹

Andere selbstverständlich auch. Und man kann immer erkennen, wonach differenziert wird, hier nach x.

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Kommentar von Jochengernd
07.08.2016, 00:21

Wie behandel ich genau dieses dx? 

Ich weiß halt, dass es beim integrieren weg fällt.

Aber ist es wie ein x, dass beim integrieren zu 1 wird? Wenn ja, dann würde ich ja bei 2 x dx = 2 beim integrieren erhalten 

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Die Substitution "klappt" nur, wenn du ein Integral von folgender Form hast:

I f(u(x)) * u'(x) dx

Nun kannst du "u(x)=u" wählen, mit "du/dx = u'(x) -> dx = du/u'(x)"

Dann kannst du substituieren (das dx ersetzt du mit du/u'(x), wie oben berechnet):

I [a,b] f(u(x)) * u'(x) dx = I [u(a),u(b)] f(u) * u'(x) du/u'(x) = I [u(a),u(b)] f(u) du

Du siehst, dass sich in diesem fall das u'(x) "rausstreichen" lässt.

Falls das "u'(x)" im Integrand ein Vielfaches von der eigentlichen Ableitung von u(x) ist, "klappt" es auch noch:

I f(u(x)) *k u'(x) dx = k* I f(u(x)) * u'(x) dx = ... | k= eine Konstante

Verwendete Notation:
I [a,b] f(x) dx : Integral über a bis b von der Funktion f(x) nach x.

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Kommentar von Australia23
07.08.2016, 09:36

Ich füge hier mal noch ein Beispiel hinzu, da du einer anderen Frage nach doch noch nicht ganz weisst, was mit den "1/2" zu machen ist ^^

Es bezieht sich eigentlich auf den 2. Teil der oberen Erklärung, also wenn die Ableitung von u(x) nicht genau gleich dem "u'(x)" im Integrand ist. 

Sagen wir mal f(x)=cos(x) und u(x)=x^2 -> f(u(x))=cos(x^2)

I cos(x^2) * x dx = ?

-> Die Ableitung von x^2 ist 2x, aber es steht bloss noch x im Integrand. Nun gibt es verschiedene Möglichkeiten, das zu lösen, ich mache es meist folgendermassen:

I cos(x^2) * x dx = 1/2 * I cos(x^2) *2x dx

-> Nun passen Ableitung und u'(x) im Integrand überein und das mit den 1/2 wurde schon gelöst (ich nehme an du meintest so etwas?).

u(x)=x^2 -> du/dx = 2x -> dx = du/2x

1/2 * I cos(x^2) * 2x dx = 1/2 * I cos(u) * 2x du/2x = 1/2 * I cos(u) du

= 1/2 * sin(u) = 1/2 * sin(x^2)

Hoffe so ist es klar, sonst einfach nochmals nachfragen! :)

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