Was muss ich tun um etwas mit der Grenzwertfunktion zu Beweisen ?

2 Antworten

Ich denke du sollst das zeigen:

lim n->unendlich (4n^2 - 13n + 2) / (5n^2 -45) = 4 / 5

ohne Klammern so wie bei dir, gilt die Aussage nicht. Du hast jetzt im Nenner und im Zähler ein Polynom mit n als Unbekannte. Bei Grenzwertaufgaben gegen unendlich gilt jetzt immer:

1. Fall: der Grad des Zählerpolynoms (dh die größte Hochzahl) ist größer als der des Nennerpolynoms, dann geht der ganze Bruch gegen unendlich. Dies ist einleuchtend da du sehr sehr viel hast, das du durch nur wenig teilst, also wird der Bruch immer größer.

2. Fall: der Grad des Zählerpolynoms (dh die größte Hochzahl) ist kleiner als der des Nennerpolynoms, dann geht der ganze Bruch gegen null. Dies ist einleuchtend, da du durch etwas sehr sehr großes teilst, dh der Bruch wird immer kleiner.

3. Fall: Dies ist der Fall von deiner Aufgabe. Die Grade beider Polynome sind gleich (bei dir 2). Dann musst du die Koeffizienten, also die Zahlen vor dem n angucken und zwar nur bei denen n bei denen die Hochzahl am größten ist. Im Zähler ist das bei dir 4 und im Nenner 5, also geht der ganze Bruch gegen 4 / 5.

Mit diesen Regeln musst du gar nicht viel rechnen, scharf hinsehen reicht meistens ;-)

Ich hab grad gesehen, dass du mit der Grenzwertdefinition geschrieben hast, ich weiß nicht wie ihr den definiert habt, möglicherweise reicht meine Begründung dann nicht, aber die Regeln sind trotzdem hilfreich.

So in der Art hab ich das auch schon verstanden, aber das ist kein korrekter mathematischer Beweis ;/

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@NiveauIsNoCreme

Ja ist mir auch aufgefallen, nachdem ichs geschrieben hatte, aber ich dachte vielleicht hilft es dir ja trotzdem. Wie genau lautet eure Grenzwertdefinition?

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Forme den Term so um, dass da steht

4/5 + f(n)

wobei f(n) den o. g. Nenner (5n² - 45) hat und einen Zähler, in dem kein n² mehr vorkommt.

Ich verstehe nicht, wie das gemeint ist...

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@NiveauIsNoCreme

Polynomdivision.

4n²-13n+2 = (5n²-45) * (4/5) + (4 n² - 13 n + 2 - 4/5 * 5 n² + 4/5 * 45)

  = (5 n² - 45) * (4/5) + (-13 n + 38)

Damit ist

(4n²-13n+2) / (5n²-45) = 4/5 + (-13 n + 38) / (5 n² - 45)

Für n -> unendlich bleibt der Summand 4/5 konstant und der rechte Summand wird immer kleiner, da die Polynompotenz im Nenner größer ist. (Das solltet ihr schon bewiesen haben.)

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