Was könnte das für eine Funktion sein?

...komplette Frage anzeigen

5 Antworten

Das ist ja echt eine Herausforderung :-)

Als erstes: "eine nette sanfte Kurve" ist eine tolle Beschreibung :-)))

Dann: "die ähnlich aussieht wie eine Exponentialfunktion" - kann nicht sein, weil die exp.-Funktion nämlich immer schneller ansteigt, als auch sehr schnell viel größer als x wird.

Mein Vorgehen:

f(x) soll an x rangehen: da nehme ich mir mal den Term x.

Die gegebenen y-Werte sind alle kleiner als x (bis auf (0|0)), also subtrahiere ich was.

Der Term, den ich subtrahiere, muss sich für große x null annhähern (damit f(x) gegen x geht). Das muss also ein Bruchterm sein. Ich habe mich (mehr oder weniger willkürlich) für den Nenner c·x²+1 entschieden. (Formvariable Nummer 1)

Dann soll der Graph durch die drei gegebenen Punkte laufen. Im Zähler des Bruchtermes nehme ich den linearen Term a·x + b - damit habe ich zwei weitere Formvariablen und stelle sicher, dass der Bruch gegen null konvergiert.

Insgesamt versuche ich es also mit der Funktion f(x) = x - (a·x + b) / (c·x² + 1).

Ich setze die Koordinaten der drei Punkte ein und lasse meinen Taschenrechner den Rest erledigen :-)
Der spuckt mir folgende Werte raus: a = 2688/11, b = 0, c = 2565/11

Der Graph dieser Funktion geht nun auf jeden Fall duch die 3 Punkte und nähert sich dem Graphen von y = a an. Allerdings stimmen die Werte bei x = 4 und x = 100 nicht so richtig mit Deinen überein.

Das zeigt: perfekt war meine Lösung nicht.

Ich wollte Dir nur einen möglichen Weg aufzeigen. Man könnte nun mit dem Funktionsterm ein wenig "spielen"; vielleicht erhält man dann eine bessere Lösung.

Antwort bewerten Vielen Dank für Deine Bewertung

Es gibt hier mehrere Ansätze.

Wenn f(x) nie größer als x wird, aber asymptotisch gegen x geht (immer näher an x herankommt), bietet es sich an, x von f abzuziehen:

g(x) := f(x) - x

Damit ist

g(0) = 0
g(9) = -7
g(15) = -8

Hierfür bietet sich ein Ansatz wie folgt an:

g(x) = -a x e^(-lambda x)

Durch Einsetzen der bekannten Funktionswerte kann man a und lambda ausrechnen. (Ich habe heraus:

a = 245/216 * wurzel(35/24)

lambda = 1/6 ln(24/35)

Es geht auch mit gebrochen-rationalen Funktionen, aber dazu bin ich jetzt zu müde.

Antwort bewerten Vielen Dank für Deine Bewertung
Kommentar von KDWalther
07.10.2016, 11:35

Stimmt, ein Ansatz mit einer Exp.-Funktion ist eigentlich naheliegend, das umgeht auch das Problem mit Def.-Lücken :-)

0

Wenn nur 3 Punkte und der asymt. Teil bekannt sind, können das unendlich viele verschiedene Funktionen sein...

a) Typ

(9.137326065e-3*pow(x,2.452427815))*(0.5-tanh((x-20)/2)/2)+x*x*(tanh((x-20)/2)/2+0.5)/(x+1)

b) Typ 

1.493496635*x-3.76406011*sqrt(x)-1.184170923e-2*pow(x,1.5)

Der Iterationsrechner 

http://www.gerdlamprecht.de/Roemisch_JAVA.htm#(9.137326065e-3*@Px,2.452427815))*(0.5-tanh((x-20)/2)/2)+x*x*(tanh((x-20)/2)/2+0.5)/(x+1)@NaB=Array(0,9,15,100,1000);@N@Ci]=Fx(@Bi]);aD[i]=1.493496635*@Bi]-3.76406011*@Q@Bi])+2.166946376e-2-1.184170923e-2*@P@Bi],1.5)@Ni%3E4@N0@N0@N#

(LINK endet mit N#)

und das Universal-Diagramm

http://www.gerdlamprecht.de/Liniendiagramm_Scientific_plotter.htm

aB[0]<1?(9.137326065e-3*pow(x,2.452427815))*(0.5-tanh((x-20)/2)/2)+x*x*(tanh((x-20)/2)/2+0.5)/(x+1):(1.493496635*x-3.76406011*sqrt(x)+2.166946376e-2-1.184170923e-2*pow(x,1.5))

Bild 2 bestätigen die geg. Punkte

Bei Bedarf kann ich Dir weitere "basteln" ( denn die 2. hat ja einen kleinen negativen Bereich -> was man noch verbessern kann)

Dann gibt es noch zig andere Typen (kenne über 300 Funktionen).

Iterationsrechner - (Mathe, Mathematik, Funktion) 2 Funktionen per Universal-Diagramm - (Mathe, Mathematik, Funktion)
Antwort bewerten Vielen Dank für Deine Bewertung
Kommentar von Grobbeldopp
07.10.2016, 21:21

Hm. Ich merke allmählich dass es da wohl keine Lösung gibt, die sehr naheliegend oder einfach ist, sondern dass man sich das auf viele Arten sozusagen zurechtmachen kann.

Damit kann ich auch keine eleganten einfachen Erklärungen für die Kurve erwarten vergleichbar mit "da wächst etwas exponentiell" (also nur als Beispiel, ist schon klar dass das nicht der Fall ist)

1

Ich gehe davon aus, dass du willst, dass die Funktion ganz exakt (!!) durch diese Werte hindurch geht.

Das nennt sich Interpolation.


Die Schwierigkeit wird sein eine Interpolationsfunktion /
Interpolationsansatz (es sind nicht nur Polynome möglich !) zu finden,
der zwischen den Wertepaaren, also im Interpolationsintervall, keine
Extremwertstelle hat, also nicht durchschwingt.

Falls alles andere scheitert kannst du es mit der Spline-Interpolation versuchen -->

http://www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/kubspline.htm

(Diese Webseite erfordert möglicherweise die Aktivierung von Javascript oder Java).

Die Splineinterpolation liefert für deine Werte eine glatte Kurve, habe ich selber ausprobiert.

0 | 0

4 | 1

9 | 2

15 | 7

100 | 90

Mit Hilfe der Webseite kannst du auch beliebige andere f(x) bzw. S(x) berechnen lassen.

Das kommt dabei heraus -->

0 | 0.0000

1 | 0.2932

2 | 0.5691

3 | 0.8105

4 | 1.0000

5 | 1.1319

6 | 1.2462

7 | 1.3946

8 | 1.6287

9 | 2.0000

10 | 2.5463

11 | 3.2497

12 | 4.0785

13 | 5.0010

14 | 5.9854

15 | 7.0000

20 | 12.0774

25 | 17.1193

30 | 22.1280

35 | 27.1056

40 | 32.0544

45 | 36.9767

50 | 41.8745

55 | 46.7503

60 | 51.6060

65 | 56.4440

70 | 61.2666

75 | 66.0758

80 | 70.8739

85 | 75.6632

90 | 80.4458

95 | 85.2240

100 | 90.0000

(Auf 4 Stellen nach dem Komma gerundet.)

Du könntest aber immer noch Glück haben und eine einzelne Interpolationsfunktion finden, die also nicht durch stückweise stetige Interpolationspolynome zusammengesetzt ist, aber die Suche wird mühsam sein.

Falls du nicht willst, dass die Funktion ganz exakt durch diese Wertepaare hindurch geht, dann nennt sich das Ausgleichsrechnung bzw. Ausgleichungsrechnung, auch da muss ein erfolgreicher Funktionsansatz erst mal gefunden werden.

Antwort bewerten Vielen Dank für Deine Bewertung
Kommentar von Grobbeldopp
07.10.2016, 16:01

Das ist sehr interessant, danke. Das ist dann sozusagen "ich bastel mir meine benötigte Kurve zusammen".

1
Kommentar von hypergerd
07.10.2016, 21:21

Möglich - ja, aber dieser Algorithmus hat 2 Nachteile:

1. da immer nur 3 Punkte pro Teilbereich, ergibt das bis 100 eine sehr lange Formel (können schnell über 88 Zeichen werden)

2. da kubische Splines für Rundungen und nicht für asymptotische Annäherungen gemacht wurde, gibt es zum Ende hin immer Überschwingungen in Richtung + oder - x hoch höchste Potenz

1

Also deine Funktion lautet

F(x)=5/6x

Wie komme ich darauf?

P3 15/7
P2 9/2

P3-P2=> (y2-y1)/(x2-x1)= (15-9)/(7-2)=5/6

Somit ist 5/6 deine Steigung, auch als m bekannt.

Anbei auch die Funktion im Graphen. Von 0-100, was ja interessant für dich ist, kannst du ja eine Wertetabelle machen

Graph - (Mathe, Mathematik, Funktion)
Antwort bewerten Vielen Dank für Deine Bewertung
Kommentar von Spongebob1994
07.10.2016, 00:26

Die Punkte sind im Übrigen einer liniaren Funktion zugeordnet ;) für eine f(x) höheren Grades bräuchte man andere koordinaten

0
Kommentar von ETechnikerfx
07.10.2016, 00:29

Das kann nicht stimmen. Mit x = 9 bei F(x) ist y = 2. Mit x = 15 ist y = 7. Trage dies einmal in ein Koordinatensystem ein, so wirst du feststellen dass die Funktion nicht eine Gerade ist. Werte kleiner 0 sind nicht erlaubt.

2

Was möchtest Du wissen?