was kann man zu diesem Graph sagen:-2x^3+3x^2+12x-13?

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3 Antworten

Hallo,

eine Nullstelle liegt bei x=1.

Wenn Du die Funktion also durch (x-1) teilst, bekommst Du eine Funktion zweiten Grades, bei dem Du eventuelle weitere Nullstellen bestimmen kannst.

Um Extremstellen zu ermitteln, setzt Du die erste Ableitung auf Null, für die Wendestelle dann die zweite Ableitung. Außerdem zeigt Dir die zweite Ableitung, um welche Extremstellen es sich handelt.

Außerdem kommt sie aus dem positiven Unendlichen und verschwindet im negativen.

(-2x³+3x²+12x-13):(x-1)=-2x²+x+13

Wenn Du die Nullstellen hier per pq-Formel ermitteln möchtest, mußt Du zunächst alles durch -2 teilen.

Herzliche Grüße,

Willy

Was sich sagen lässt, ist dass diese Gleichung / Funktion keine Symmetrie besitzt , da ungerade und gerade Exponenten. 

gilgamesch4711 23.02.2017, 19:47

  Aktion sokrates;

  " Not only know you no nothing; you even no know you know nothing. "

   ALLE kubistischen Polynome verlaufen PUNKT SYMMETRISCH GEGEN IHREN WENDEPUNKT .

   " Alle kubischen Grafen singen immer wieder die selbe Melodie. "

   Ein Trick, der sich vor allem bei Steckbriefaufgaben glän-zend bezahlt macht - wärst du nicht so ignorant.

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  Deiner Lehrerin heizen wir mal kräftig ein. Das geht aber nur, wenn wir am selben Strang ziehen; wenn du ihr gestehst, dass und vor allem was du bei mir abgeschrieben hast. Jeder darf dir helfen; deine Eltern und auch das Internet. Du sollst dir nur nicht alles vorkauen lassen.

   Kubistische Polynome sind ein Sonderfall; ihre Kurvendiskussion ( KD ) hat stets mit dem WP zu beginnen - warum ist das so? Dafür braucht's nämlich keine zweite Ableitung; alles Kokolores, was in den Büchern steht. Du gehst aus von der Normalform

    f  (  x  )  :=  x  ³  +  a2  x  ²  +  a1  x  +  a0     (  1.1a  )

          a2  =  (  -  3/2  )   ;  a1  =  (  -  6  )  ;  a0  =  13/2      (  1.1b  )

   Diktat für  Formelsammlung, Regelheft und Spickzettel

      x  (  w  )  =  -  1/3  a2  =  1/2    (  1.2  )

   Was kommt als Nächstes; nullstellen oder " Extremata " ? Aktion Köpenigk

   " Is sich verschieden, Herr Direktor ( bzw. Frau Lehrerin ) "

   In unserem Fall wird sich heraus stellen, dass Extrema leichter zu rechnen sind.

   Ich schick lieber ab und schreib noch eine Ergänzung Teil 2. Dieser Editor ist einfach zu instabil.

gilgamesch4711 23.02.2017, 21:40

  Abermals ist der Editor abgestürzt; und ich war wieder ausgeloggt.

  Für die Extrema die erste Ableitung Null setzen:

   f  '  (  x  )  =  -  6  (  x  ²  -  x  -  2  )  =  0     (  2.1  )

  Schau mal, was Pappi alles weiß:

https://de.wikipedia.org/wiki/Satz_%C3%BCber_rationale_Nullstellen

   Der Satz von der rationalen Nullstelle ( SRN )

  Naa; hast du dich von deinem Schock erholt?

   
Junge du lebst in aufregenden Zeiten; Wikis Behauptung, der SRN gehe
auf Opa Gauß zurück, stellt die wohl GRÖSSTE FÄLSCHUNG DER
MATEMATIKGESCHICHTE DAR . Du das scheint mir jetzt wichtiger als diese
Aufgabe ( Die machen wir nachher auch noch fertig. )

    Meine Gründe für den Fälschungsvorwurf

 
1) Gauß ist doch Kult; wieso hat deine Lehrerin noch nie was vom SRN
vernommen? ( Ich weiß; die wollte euch nur prüfen. ) Aus
Aufgabenzetteln, die von Studenten im Internet gepostet wurden, geht
zweifelsfrei hervor, dass auch kein Matheprof ( !!! ) je vom SRN
vernommen hat.

  2) Die einzigen ernst zu nehmenden Algebrabücher
sind Artin und v.d. Waerden ( beide 1930 )  Deine Lehrerin kennt  das (
Schließlich hat die studiert )   Die soll ruhig mal nachsehen, ob da was
vom SRN drin steht.

   3) Jetzt gehst du her und rekapitulierst
den " kanonischen " Beweis, dass Wurzel ( 2 ) irrational. Findest du
überall im Internet; solltest du es wirklich nicht packen, bitte nochmal
deine Lehrerin.

   Das ist also der Beweis, der dir als der
modernste seiner Art verkauft wird. Und jetzt versuch nochmal den Beweis
über den SRN . Im japanischen ===> Zen Buddhismus heißt der
Augenblick der Erleuchtung ===> Satori .

   Verstehst du meine
Frage? Wenn doch, wie behauptet, der SRN von Gauß stammt. Ist dann noch
glaubhaft, dass in den 200 Jahren bis zu mir niemand auf diesen
konzeptionell besser fundierten Beweis gekommen ist? DAS ist genau der
Knackpunkt; der SRN zieht nämlich Zahl reiche Entdeckungen nach sich,
von denen Wiki gar nichts weiß. Das ist so ähnlich, wie wenn ein
Rembrandtfälscher moderne Farben benutzt. Und zur Rede gestellt erfindet
er die Ausrede, dies sei eben das erste Bild, welches belege, dass
Rembrandt eben doch schon moderne Farben kannte.

   4) Aber mein
aller schwerster Vorwurf betrifft eine technische Frage. Im Laufe der
Zeit stopfen ja die Juristen auch die Schlupflöcher in ihren Gesetzen.
So waren die ersten Autodiebe Jugendliche, die ihr Strafverteidiger
gewieft präpariert hatte, sie wollten den PKW gar nicht klauen. Sie
hatten nur eine " Abenteuerfahrt " vor.

   Aha sagten sich da die
ganzen Juristen. Und erfanden ein neues Strafgesetz gegen " unbefugtes
Führen eines Fahrzeugs " , was es eben vorher nicht gegeben hatte.

  
Genau so hier. Rein von der Quellenlage zu urteilen, ist der SRN die
Entdeckung eines ( anonymen ) Internetgenies aus dem Jahre 1990; vor
2011 kam es mir jeden Falls nicht zu Ohren. Mit den Genies ist das immer
sone Sache; dem ===> Ramanujan sein Zeug ist bis Heute unbewiesen,
weil der Typ keine anmtliche ausbildung hat; der wenn einen Beweis
formuliert, denkste, der wär aus der Psychiatrie entsprungen.

  
Und genau so hat vor mir AB-SO-LUT KEIN INTERNETPORTAL geschnallt, dass
der SRN natürlich nur Sinn hat für ===> primitive Polynome (
ganzzahlig gekürzt; warum ( !!! ??? ) )

   Wiki gibt sich hier
seltsam unprofessionell; sogar von " gebrochenen Koeffizienten und
Hauptnenner " schwätzen die dusselig. wäre das eben so professionell
gehalten wie alle anderen Mathewiki Beiträge auch, na stünde da voll
cool

   " Gegeben sei ein primitives Polynom. "

   ( Mir ist
ein autentischer Fall bekannt. Viel jünger; ===> Eisenstein 1880 Da
haben sie es LÄNGST  spitz; und das Teorem wird überall korrekt zitiert.
)

   " Die andern sind eh so schlau wie ich? " Offenbar nicht ...

   Der SRN veranlasst mich, eine neue Definition in die Algebra einzuführen:

  DEFINITION  ( Normiertes Polynom )

   ================================

   Ein Polynom heiße normiert, wenn seine primitive mit seiner Normalform überein stimmt.

  =====================================================================

  
Überleg mal; dein ursprüngliches kubisches Ausgangspolynom ist nicht
normiert; siehe ( 1.1ab ) Dagegen die Ableitung ( 2.1 ) ist es schon

   KOROLLAR zum SRN ( Ganzzahlsatz )

   =====================================

     Ein normiertes Polynom kann wenn überhaupt rationale,  so nur ganzzahlige Wurzeln haben.

   ================================================================

   Hier unseren Feuerzangenlehrer in " oiiiigaanischer Kämmie " haben wir doch auch immer abgelenkt

  " Sie waren doch Jagdflieger. Wie war das damals, als Sie die geheime Radaranlage getestet haben? "

   Hier du verrätst Initiative, wenn du dich meldest

 

0
gilgamesch4711 23.02.2017, 22:54
@gilgamesch4711

  Die primitive Form von ( 2.1 ) lautet

   x  ²  -  p  x  +  q  =  0    (  3.1a  )

    p  =  1  ;  q  =  (  -  2  )   (  3.1b  )

   Das Polynom ist normiert; laut SRN sind nur ganzzahlige Lösungen möglich. Im Übrigen gilt Vieta q

  x1 ( ext ) x2 ( ext ) = q = ( - 2 )  ( 3.2a )

  | x1 ( ext ) | = 1 ; | x2 ( ext ) | = 2  ( 3.2b )

  Welches Vorzeichen ist richtig? Hinreichende Bedingung - überlebenswichtig in jeder Klausur - ist jetzt Vieta p

 x1 ( ext ) + x2 ( ext ) = p = 1  ( 3.3a )

 x ( min ) = ( - 1 ) ; x ( max ) = 2  ( 3.3b )

   Woher weiß ich jetzt schon, dass das Maximum und Minimum sind?

  " Alle kubischen Grafen singen immer wieder die selbe Melodie. "

    So bald die Ableitung zwei reelle Wurzeln hat, bist  du sicher, dass das eine ein Maximum ist und das andere ein Minimum. In deiner Ausgangsform war aber der ===> Leitkoeffizuent c3 = ( - 2 ) negativ. Dann geht aber das Polynom  f ( x ) asymptotisch nach ( - °° ) für x ===> ( + °° )  ( wegen dem Minuszeichen; sonst grundsätzlich Plus. ) RECHTS muss also das MAXIMUM liegen ( und links das Minimum. )

   Rechnen wir noch die y-Werte nach

   f ( min ) = ( - 20 )      ( 3.4a )

  f ( max ) = 7       (  3.4b  )

   Da du ohne TR arbeitest; wärst du in der Lage, ( 3.4b ) in 10 sec ( im Kopf ! ) mit dem Hornerschema zu berechnen? Du solche Kettenaufgaben stellen sich Schüler  freiwillig in Kl. 4 .

   Und jetzt will ich dir noch ein Geheimnis anvertrauen; wohl gemerkt: Sie alle singen immer wieder die selbe Melodie. Abermals Diktat für Formelsammlung, Regelheft und Spickzettel ( FRS )

  " Jedes kubische Polynom verläuft Punkt symmetrisch gegen seinen WP. "

   Aus dieser Symmetrie folgt eine Mittelwertbeziehung

  x ( w ) = 1/2 [ x ( max ) + x ( min ) ]  ( 3.5a )

  f ( w ) = 1/2 [ f ( max ) + f ( min ) ]  ( 3.5b )

   ( 3.5a ) ist übrigens äquivalent Vieta ( 3.3a ) ; so bald der WP genau in der Mitte liegt, bist du auf der sicheren Seite; siehe ( 1.2 )

  Ach und f ( w ) auf dem direkten Wege nachzurechnen durch Einsetzen von x = 1/2 . Das stelle ich mir doch etwas mühselig vor. Dagegen ( 3.4ab;5b ) führt uns auf

  f  (  w  )  =  (  -  13/2  )    (  3.6  )

  wie versprochen habe ich mir die Arbeit so eingeteilt, dass sie von Mal zu Mal schwerer wird. Bei  den Nullstellen darfst du dich schln mal auf was gefasst machen.

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gilgamesch4711 23.02.2017, 23:51
@gilgamesch4711

  Du kannst dir ja mal überlegen, welche Wurzeln per SRN bei deinem Ausgangspolynom durchgehen; mit x3 = 1 liegst du nie verkehrt.

   Polynomdivision ( PD ) findet bei mir übrigens nicht statt. Ich bin nämlich der Entdecker der ersten und zweiten ===>  Alfonsinischen pq-Formel  ( AF ) Du musst nämlich wissen, dass ===> Michael Ende seinen Millionenseller " Jim Knopf " für mich schrieb; da war ich grad mal Neun. ( Ein für deine Lehrerin uneinholbares Erfolgserlebnis; aus der wird keine zweite ===> Alice.  )

   Mein Kronzeuge ist der Vater meines Klassenkameraden Mike

   " Geh mal zum Alfons und sag dem, Michael Ende ist nicht dem sein Erziehungsberechtigter. Was der sich denkt, ein Buch zu drucken, was alles er nach seiner im Übrigen voll unmaßgeblichen Meinung am Alfons so toll findet. "

   Warum übrigens geht Li Si bei Frau Maltzahn in eine Rechenschule? Den Wink mit dem Zaunpfahl verstand icch nur zu gut; er galt MIR ALLEIN, damit ich endlich besser werde im Kopf Rechnen ...

   Na und da fand ich es irgendwie witzig, meine Formeln zu benennen nach Alfons 3/4 XII von Lummerland; und so heißen sie bei den Usern bis Heute. Neulich kam eine Rückmeldung, sie würden eifrigst benutzt.

  Dein Polynom nenne ich f ( x ) ; in  Normalform findest du es ja bei mir zitiert in ( 1.1ab ) Wir spalten den Linearfaktor ( x - x3 ) ab; x3 haben wir geraten als x3 = 1 .

  f  (  x  )  =  g  (  x  )  (  x  -  x3  )  (  4.1  )

   g ( x ) ist das gesuchte quadratische Faktorpolynom, dessen Wurzeln x1;2 wir über die Mitternachtsformel ( MF ) bestimmen werden.

   g ( x ) = x ² - p x + q   ( 4.2a )

    Dann lautet aber der Vieta von ( 4.2a ) - das hatten wir oben schon in ( 3.2a;3a )

  p  =  x1  +   x2    (  4.2b  )

   q  =  x1  x2   (  4.2c  )

   Auch f ( x ) hat einen Vieta; er ist nur nicht ganz so popolär

  a2  =  -  (  x1  +  x2  +  x3  )   (  4.3a  )

  a0  =  -  x1  x2  x3       (  4.3b   )

   Und jetzt leg mal den Rückwärtsgang ein. Setze den Term ( 4.2b ) ein in ( 4.3a ) so wie ( 4.2c ) in ( 4.3b )

   a2  =  -  (  p  +  x3  )  ;   AF1   ( 4.4a )

   a0  =  -  q  x3    ;  AF2   (  4.4b  )

   a0 und a2 sind uns ja gegeben von dem Polynom f ; x3 = 1 haben wir geraten. p und q sind gesucht; hier dieses LGS ( 4.4ab ) ist nicht mal gekoppelt. Etwas Leichteres habt ihr nie gesehen.

   Allerdings sind die AF bei Weitem nicht so robust wie Polynomdivision; da sie von Vieta abstammen, müsst ihr UNBEDINGT darauf achten, mit der Normalform ( 1.1ab ) zu arbeiten.

  a2 = - ( p + x3 ) = ( - 3/2 ) ===> p = 1/2    ( 4.5a )

   a0 = - q x3 = 13/2 ===> q = ( - 13/2 )     (  4.5b  )

     x  ²  -  x / 2  -  13/2  =  0  |  MF  (  4.6a  )

  x1;2 = 1/4 [ 1 -/+ sqr ( 105 ) ]   ( 4.6b ) 

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gilgamesch4711 24.02.2017, 00:32
@gilgamesch4711

  Und jetzt kommt ein Punkt. Da seh ich euch nicht durch die Finger so wie deine Lehrerin. Und der TR bleibt bitte schön auch in der Schublade.

   In Wolfram siehst du, dass die korrekte Anordnung der Knoten lautet

   x1 = 1/4 [ 1 - sqr ( 105 ) ]   ( 5.1a )

   x2  =  1    (  5.1b  )

   x3 = 1/4 [ 1 + sqr ( 105 ) ]   ( 5.1c )

   Wir wollen zeigen

   x1 < x ( min ) = ( - 1 ) <    (  5.2a  )

 < x2 = 1 < x ( max ) = 2 <    (  5.2b  )

   <  x3    ( 5.2c )

    1  !  <  |  x1  |    (  5.3a  )

    1  <  1/4 [ sqr ( 105 )  - 1 ]   (  5.3b  )

   Wenn wir die Wurzel in dieser Ungleichung isolieren wie eine Unbekannte, wenden wir nur ===> Äquivalenzumformungen an:

    5  <  sqr ( 105 )  (  5.3c  )

   ( 5.3c ) ist daher wahr genau dann, wenn es die zu beweisende Behauptung ( 5.3b ) ist  

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