Was ist sin, cos, tan?

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4 Antworten

Das Bild veranschaulicht die geometrische Bedeutung der trigonometrischen Funktionen.

Sie haben, wie der Name schon sagt, etwas mit einem Dreieck zu tun, nämlich einem rechtwinkligen Dreieck, dessen Katheten ich x und y und dessen Hypotenuse ich r genannt habe. Nach dem Satz des PYTHAGORAS ist

r = √{x² + y²} = √{(r·cos(α))² + (r·sin(α))²} = r·√{(cos(α))² + (sin(α))²},

und somit ist

√{(cos(α))² + (sin(α))²} ≡ 1,

und weil 1² = 1 ist, ist natürlich auch

(cos(α))² + (sin(α))² ≡ 1.

Der Tangens ist das Verhältnis der Tangenten untereinander, also y/x. Wäre nun α = 35°, dann wäre y=0,57·r lang.

Übrigens ist es in der Mathematik und Physik üblicher, Winkel im Bogenmaß anzugeben statt in Grad, vor allem weil es weniger willkürlich ist. Das Bogenmaß des Winkels ist die Länge des Kreisbogens zwischen den Winkelschenkeln dividiert durch r.

Die Umrechnung erfolgt durch 1° ^= π/180, weil ein Halbkreisbogen (180°) die Länge π·r hat. 

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sin(35°) = 0,57 ist das Verhältnis von Gegenkathete durch Hypothenuse bei einem rechtwinkligen Dreieck mit den Winkeln 90° , 35° und 55°.

Zeichne in ein Koordinatensystem einen Kreis mit Mittelpunkt im Ursprung und Radius 10 cm.

Zeichne eine Gerade mit Winkel 35° zur X-Achse (also vom Mittelpunkt nach schräg rechts hoch.

Zeichne eine senkrechte Strecke vom Schnittpunkt der Geraden mit dem Kreis nach unten zur X-Achse.

Diese Strecke müsste 5,7 cm lang sein.


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Wenn du ein Dreieck zeichnest, dann haben die einzelnen Seiten (meist) unterschiedliche Längen. Bei einem Spitzen Dreieck ist die der Spitze gegenüberliegende Seite kurz. Ist der Winkel aber stumpf, ist die Seite lang.

Mit dem Sinus des Winkels kannst du z.b. in einem Rechtwinkligen Dreieck ausrechnen, wie lang die Gegenüberliegende Seite ist. Dazu brauchst du allerdings noch die Länge der Seite die dem rechten Winkel gegenüber ist. 

Kurz gesagt, mit der trigonometrischen Funktionen kannst du aus den awinkel auf die Längen kommen (und umgekehrt)

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Sinus, Cosinus und Tangens sind die gebräuchlichsten der sogenannten Winkelfunktionen im rechtwinkligen Dreieck.

Der Sinus eines Winkels (ausser des rechten Winkels) ist jeweils ein Verhältnis (deine 0.57).
Und zwar das Verhältnis der Länge der gegenüberliegenden Seite (Gegenkathete) geteilt durch die Länge der Hypotenuse ("Grundlinie") des Dreiecks.

Mehr siehe hier:

https://de.wikipedia.org/wiki/Trigonometrische_Funktion#Definition

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