was ist Scheitelpunktform (Mathe)?

...komplette Frage anzeigen Aufgabe 1 - (Mathe, Funktion)

3 Antworten

Hallo,

steht doch alles auf dem Blatt.

Die Scheitelpunktform einer Parabel lautet f(x)=a*(x-d)²+e, weil der Scheitelpunkt (d|e) hier direkt abgelesen werden kann.

Wenn Du jetzt f(x)=x²+e stehen hast, kannst Du dies auch so aufschreiben:

f(x)=(x+0)²+e.

Der Scheitelpunkt liegt hier also bei (0|e).

Herzliche Grüße,

Willy

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Sarahxdrew 08.09.2016, 19:07

Ein wenig ausführlicher? :)

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Sarahxdrew 08.09.2016, 19:11
@Willy1729

Wenn ich das verstehen würde, würde ich die Aufgabe nicht hier reinstellen

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Willy1729 08.09.2016, 19:14
@Sarahxdrew

Du hast das Arbeitsblatt und dazu mehrere Antworten. Außerdem gibt es auf YouTube zahlreiche und gute Videos zum Thema. Das Denken und Arbeiten können wir Dir aber nicht abnehmen und Mathematik verlangt dies nun einmal.

Lies Dir das Blatt und die Antworten in Ruhe durch und durchdenke die Sache, dann sollte der Groschen fallen.

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Der Scheitelpunkt ist der tiefste (oder höchste) Punkt einer Parabel.

f(x) = ax²

Mach das mal tatsächlich, was in der Aufgabenstellung steht. Wenn Du verschiedene Zahlen für a einsetzt und in den Funktionsplotter eingibst, wirst Du feststellen können, dass sich die Parabel nur in der Breite verändert, aber an gleicher Stelle bleibt. Der Scheitelpunkt bleibt bei (0|0)

f(x) = x² + e

Das ist eine Verschieblung entlang der y-Achse S: (0|e)

f(x) = (x-d)²

Das ist eine Verschiebung entlang der x-Achse S: (d|0)

Damit Du das verstehen kannst, ist es aber super wichtig, das mal auszuprobieren und mit den unterschiedlichsten Zahlen in einen Funktionsplotter einzugeben!!!

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Sei f(x) = ax^2 + bx + c , wir wollen nun das gegebene Polynom 2.Grades in seine Scheitelpunktsform überführen, es folgt:

Zunächst Division von a auf beiden Seiten mit a ungleich 0.

f(x)/a = x^2 + (b/a)x + (c/a)   II + (b/2a)^2 - (b/2a)^2

f(x)/a = x^2 + 2*(b/2a)x + (b/2a)^2 - (b/2a)^2 + (c/a)  II (a + b)^2 = a^2 + 2ab+b^2

f(x)/a = (x + (b/2a) )^2 - (b/2a)^2 + (c/a)  II *a

f(x) = a*(x + (b/2a) )^2 - (b^2)/(4a) + c



Es habe der Scheitelpunkt S die Koordinaten: S = ( d | e )



Damit folgt:    - d = (b/2a)    und e = c - (b^2)/(4a)

da   (x + (b/2a) )^2  <= 0    ("<=" kleiner gleich )

mit a > 0 folgt dann:

f(x) >= - (b^2)/(4a) + c    wobei dieser Wert für x = - (b/2a) angenommen wird

mit a < 0 folgt dann:

f(x) <= - (b^2)/(4a) + c  wobei dieser Wert für x = - (b/2a) angenommen wird



Die Tatsache, dass gilt f(x) ist nur kleiner oder nur größer als  c - (b^2)/(4a)  für x ungleich - (b/2a)  charakterisiert den Scheitelpunkt (höchster oder tiefster Punkt der Parabel). Damit können wir also folgern:

S = ( d | e ) = ( -b/(2a) |  c - (b^2)/(4a) )



Einsetzen liefert also:

f(x) = a*( x - d )^2 + e    somit haben wir die Funktion in ihre Scheitelpunktsform überführt.

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Sarahxdrew 09.09.2016, 19:14

Du hast jetzt aber für die Variablen keine Zahlen eingesetzt

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