Was ist p und q?

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4 Antworten

Normalerweise werden mit p und q die Hypotenusenabschnitte bezeichnet, also die Teile rechts und links der Höhe auf der Hypotenuse.

Das hat aber wiederum nichts mit dem pq in der pq-Formel zu tun.

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Kommentar von awkwardusername
28.02.2017, 16:12

Wie berechne ich denn bei meiner Aufgabe beispielsweise p und q? Also die Hypotenusenabschnitte?

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Aus dieser Aufgabenstellung ist nicht zu ersehen, ob p oder q die kürzere Strecke ist. Es ist beides möglich...

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Kommentar von Rhenane
28.02.2017, 16:27

Rechnest Du also jetzt a und b noch aus, dann kann es natürlich sein, dass einige Deiner Mitschüler die Werte genau umgekehrt errechnet haben. Wenn ihr die Dreiecke aber zeichnen und ausschneiden würdet, dann passen sie (natürlich) übereinander,ihr müsst sie nur drehen...

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Die so genannte pq-Formel ist lediglich dazu gedacht, mit quadratischen Funktionen zu rechnen. Man nimmt sie um so genannte "Nullstellen" zu berechnen. Oft kommen solche Fragestellungen aus Kurvendiskussionen o.ä. und stehen als solche nicht in direktem Zusammenhang zur Geometrie.

Dein Sachverhalt ist aber zunächst einmal ein rein geometrischer.

Ein rechtwinkliges Dreieck vorausgesetzt, hast du hier übrigens richtig gerechnet. Aber die Gefahr ist eben, dass man p und q aus der pq-Formel mit p und q aus dem Dreieck verwechselst, auch für andere Leser, die mittels Höhe und Hypotenuse eine Dreieck berechnen wollen. Daher gehe ich etwas tiefer in die Materie:

Wichtigste Frage vorab: Handelt es sich um ein rechtwinkliges Dreieck? Das ist entscheidend, denn sonst kannst du hier nicht weitermachen.

An Formeln brauchst du zu Beginn nur den Höhensatz des Euklid (welcher auch nur für rechtwinklige Dreiecke gilt) und du musst wissen dass p und q die beiden Abschnitte der Hypotenuse sind, welche von der senkrecht stehenden Höhe getrennt werden.

Also haben wir:

h² = p*q    (Höhensatz des Euklid)

und

c = p + q      (wie erwähnt, p und q sind die beiden Abschnitte von c)

Als nächstes setzt du die Werte für h und c ein, denn die kennst du. Beachte, dass h hier quadriert wird. Dann hast also zwei Gleichungen und zwei Unbekannte (p und q). Um mit dem Gleichungssystem arbeiten zu können, kannst du z.B. eine Gleichungen nach p umformen und dann in die andere einsetzen (Einsetzungsverfahren). So oder so wirst du eine quadratische Gleichung bekommen. Und dafür kann man dann z.B. die erwähnte und sehr bekannte pq-Formel zum Lösen verwenden. Also: erst die Gleichung so umschreiben, dass sie die pq-Form erfüllt und dann mit der Formel berechen. Aber Achtung: Das p und q dieser Formel haben nichts mit unserem p und q aus dem Dreieck zu tun! Was du jetzt hier mit der Formel berechnest, ist die Lösung für: entweder dein q aus dem Dreieck oder dein p aus dem Dreieck, je nachdem welcher der beiden Buchstaben beim Einsetzungsverfahren stehen geblieben ist. Nicht wundern: Du wirst normalerweise zwei positive Lösungen herausbekommen. Tatsächlich kannst du beide Lösungen verwenden und zwar für p und für q, obwohl du ja eigentlich nur p oder nur q berechnet hast. Diese Eigenart hängt mit dem Satz des Thales zusammen, daher kannst du p und q auch beliebig vertauschen, es sei denn es wäre noch eine Grafik angegeben. Dann müsstest du p und q einfach nur dem Wert nach den Längen zuordnen. Eine Gegenprobe von p oder q ist mit dem Höhensatz möglich.

Macht man alles richtig, so bekommt man tatsächlich die beiden Lösungen 1,88 cm und 16,22 cm heraus. Das sind also p und q, die beiden Abschnitte der Hypotenuse. Jetzt kann man damit weiterrechnen, z.B. lassen sich mit dem so genannten Kathetensatz des Euklid einzeln die beiden Kathetenlängen berechnen.



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