Was ist limes, also wieso ist beim Differentialquotienten h gleich 0?

3 Antworten

Hallo riddler8,

ich habe mir erlaubt, Deine Frage etwas zu präzisieren. So hast Du von „Differentialgleichung“¹) geschrieben, meinst aber sicherlich „Differentialrechnung“, womit ihr offensichtlich gerade anfangt.

Bei der geht es darum, die lokale Änderungsrate einer Funktion f(x) an einer beliebigen Stelle x=x₁ zu ermitteln, wobei x die Variable und x₁ ein spezifischer Wert von x ist und die Funktion eines Parameters hat.

Das ist z.B. in der Physik zur Berechnung einer momentanen Geschwindigkeit zu einem bestimmtem Zeitpunkt t₁ von Bedeutung (s. Bild, besonders unten links).

Differenzenquotient

was ist der Unterschied zwischen 
(f(x₁+h) – f(x₁)) / h
und
(y–y₁)/(x–x₁)?

Das ist dasselbe, etwas anders ausgedrückt: Der Differenzenquotient. Die Schreibweise f(x) bezieht sich eher auf die Funktion als solche, y ist deren Wert an einer Stelle x. Speziell ist mit y₁ der Funktionswert bei x=x₁ gemeint.

Ferner ist h ≡ x–x₁ ebenfalls eine Variable. Eine andere Schreibweise dafür ist Δx. Sie wird besonders in der Physik gern verwendet. Für den Zähler schreibt man auch Δy, sodass Δy/Δx eine weitere Schreibweise für den Differenzenquotienten.

Der Limes

Das Wort stammt vom Namen einer römischen Grenzbefestigung und bedeutet in der Mathematik Grenzfall (da vereinfacht sich oft einiges) oder eben Grenzwert.

Ist limes nur bei dieser Formel enthalten?

Nein, er kommt häufig vor, besonders, wenn eine Größe einen bestimmten Wert nicht erreichen a) kann oder b) darf.

Zur Kategorie a) gehört der Kreisumfang als Grenzwert der Umfänge regelmäßiger Polygone mit 6·2^n Ecken im Verhältnis zum Ecken-Durchmesser d darstellen, was auch einer der ersten Ansätze zur Berechnung von π war.

Schon für relativ kleine n ist das Polygon kaum noch vom Kreis zu unterscheiden, aber erst für n→∞ geht U/d→π. Man kann aber eben nicht einfach n=∞ setzen, denn ∞ ist keine Zahl.

Zur Kategorie b) gilt u.a. der Differenzenquotient, weil dort h im Nenner auftritt und daher nicht einfach gleich 0 gesetzt werden darf.

Differenzenquotient und stetig ergänzbare Funktionen

…wieso ist h gleich 0…?

Wie bereits erwähnt, darf h eben nicht gleich 0 sein. Die Multiplikation mit 0 ist nicht umkehrbar, weil die 0 der große „Plattmacher“ unter den Zahlen ist und man deshalb Schwachfug wie die Gleichheit offensichtlich ungleicher Zahlen beweisen könnte.²)

Der Differenzenquotient ist eigentlich nichts anderes als eine Funktion von h, die an der Stelle h=0 eine Definitionslücke hat, ähnlich wie

(1.1)    g(x) = (x² – 1) / (x – 1) = (x+1)(x–1) / (x–1)

bei x=1. Die Definitionslücke lässt sich hier mit dem Wert 2 auffüllen, den

(1.2)    g*(x) = x + 1

an dieser Stelle hat. Überall außer in x=1 sind beide Funktionen identisch.

Genauso ist das auch bei dem Differenzenquotienten. Entscheidend ist, dass h überall im Zähler vorkommt und sich herauskürzen lässt. Dies musst Du tun, bevor Du h=0 setzt. Dann freilich ist der Differenzenquotient mangels Nenner eigentlich kein Quotient mehr.

Beisipiel: f(x) = x²:  Der Differenzenquotient ist

(2)    ((x₁ + h)² – x²) / h = (2x₁h + h²) / h =(h≠0)= 2x₁ + h,

und damit ist der h→0 - Grenzwert eben 2x₁.

Ableitung und Ableitungsfunktion

Falls

(3)    lim_[h→0] (f(x₁ + h) – f(x₁)) / h =: f'(x₁)

existiert, heißt f(x) in x₁ differenzierbar und heißt f'(x₁) die Ableitung von f(x) in x₁. Das Argument x₁ lässt sich auf x verallgemeinern, was die Ableitungsfunktion f'(x) ergibt, in Beispiel (2) also f'(x) = 2x.

Differenzialquotient

Oft liest man statt f'(x) auch dy/dx, womit dasselbe gemeint ist. Das gilt vor allem für die Physik, wo man etwas salopper mit mathematischen Begriffen umgeht. Im Unterschied zu den endlichen Differenzem Δx und Δy werden dx und dy „infinitesimal“ genannt.

Wobei wichtig ist, dass „unendlich klein“ nicht „gleich 0“ bedeutet. Meist ist es auch nicht allzu wörtlich gemeint; dx soll so klein sein, dass f(x) in diesem Intervall praktisch linear bzw. von einer linearen Funktion kaum zu unterscheiden ist. Man zoomt gleichsam auf den Graphen wie auf die Erde, deren Krümmung man in unserem Mastab auch nicht auf den ersten Blick erkennt.

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¹) Eine Differentialgleichung ist eine Gleichung, in der eine Funktion f(x) und eine ihrer Ableitungen (genauer: Ableitungsfunktionen) f'(x), f"(x) etc. zusammen auftreten.

Naturgesetze haben „gern“ die Form von Differentialgleichungen, denn ein Funktionswert beeinflusst oft seine eigene Änderungsrate. Ein Beispiel ist die harmonische Schwingung.

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²) Das geht sogar ggf., ohne es sofort zu merken. Wir formen die simple Gleichung x=y um und bekommen 2=1 heraus:

Gleichung                        Nächster Schritt

  1. x = y                            Multiplizieren mit x
  2. x² = xy                         Subtraktion von y²
  3. x² – y² = xy – y²           Faktorisieren
  4. (x+y)(x–y) = y(x–y)     Gleichung durch (x–y) kürzen
  5. x+y = y                        Rückgriff auf (1.)
  6. 2y = y                          Kürzen durch y
  7. 2 = 1                           Voilà!

Durch 0 geteilt haben wir in (4.), denn definitionsgemäß (s. 1.) war x–y=0.

 - (Schule, Mathematik, Differentialgleichung)

Das h ist nicht gleich Null, sondern es läuft gegen Null. Es wird auch nicht einfach durchgestrichen, sondern läßt sich durch umformen und zusammenfassen im Zähler kürzen. Da es um einen Grenzwert geht (das sagt das Wort limes aus), wird hier am Ende der Rechnung für h der Wert Null eingesetzt. Ginge es um eine "normale" Bruchrechnung, dann wäre das nicht erlaubt, da h=0 nicht zur Definitionsmenge gehört, wenn dadurch der (Ursprungs-)Nenner Null wird.

Mit (y2-y1)/(x2-x1) kannst Du für Geraden die Steigung an jedem Punkt berechnen, da die Steigung bei Geraden immer gleich ist.
Ansonsten (also in Kurven) ermittelst Du mit (y2-y1)/(x2-x1) "nur" die "Durchschnittssteigung" zwischen den beiden Punkten P2 und P1. Um jetzt aber die genaue Steigung an der Stelle x1 ermitteln zu können, geht man von der Stelle x2 aus immer näher an x1 heran.

Nichts anderes bedeutet die h-Methode. Hier heißt es eben nicht y2-y1, sondern f(x+h)-f(x) und im Nenner steht nicht x2-x1, sondern x+h-x; hierbei hebt sich das x auf und h bleibt übrig. Geht man nun mit h gegen Null, bedeutet das, man nähert sich immer mehr der Stelle x an, für die man die Steigung ermitteln möchte/muss.




Kann ich h immer gegen 0 laufen? Also waere beim differenztialquotient h immer 0?

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@riddler8

Das ist der Sinn der Sache. Damit Du die Steigung in einem speziellen Punkt ermitteln kannst, muss h gegen Null laufen.

Im Differenzenquotienten hast Du (wie beschrieben) die Differenz zweier Punkte. Durch diesen Quotienten erhältst Du die durchschnittliche Steigung. Es soll aber die Steigung in einem Punkt bestimmt werden; dazu lässt man den 2. Punkt immer näher an den gewünschten Punkt laufen, bis er "unendlich nah" dran ist. Diesen Unterschied zwischen den beiden Punkten drückt das h aus.

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@riddler8

Gegen 0 laufen heißt nicht 0 sein!

Die 0 darf keinesfalls je im Nenner auftreten. Das liegt übrigens nicht daran, dass „der Kehrwert unendlich wäre“, sondern daran, dass die 0 der große Plattmacher ist und man dadurch mit Hilfe einer Division durch 0 den größten Schwachsinn beweisen könnte, etwa die Gleichheit offensichtlich ungleicher Zahlen.

Der Differenzialquotient ist eigentlich - standardmäßig - kein richtiger Quotient, sondern eben der Grenzwert eines Quotienten. Die Größe h muss aus dem Nenner verschwinden, ehe man sie 0 setzen darf.

Im Rahmen der NichtstandardanaIysis, die verschiedene unendliche und, als deren Kehrwerte, infinitesimale Zahlen definiert hat, kann man freilich den Differentialquotienten als einen richtigen Quotienten infinitesimaler Größen beschreiben. 

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Hallo.

Der Differenzenqoutient gibt dir nicht die Steigung an einer Stelle der Funktion an, sondern gibt dir die Steigung eine Geraden an, die die Funktion in 2 Punkten schneidet.

Da du nun aber die Steigung an einer gewissen Stelle haben möchtest musst du diese Gerade von oben so "Verschieben", dass die Gerade (dann Tangente genannt) die Funktion nur noch an einer Stelle berührt.

(f(x+h) - f(x))/h
Ist der Differenzenqoutient für die erste Gerade.
Durch das x+h schneidet die Gerade zweimal.
Wenn man möchte, dass nun nur noch einmal berührt wird, dann muss h gegen 0 gehen, damit nähern wir uns einem Punkt an, nämlich der mit Funktionswert f(x).

Dieses annähern kennzeichnen wir durch lim h→0

lim h→0 [(f(x+h)-f(x)/h]

Nun ist aus dem Differenzenqoutient der Differentialquotient geworden.

Der Limes kennzeichnet eine Grenzwertberechnung, kannst danach Googeln.

Mit dem Differentialqoutient kann nun gerechnet werden, bis ein Ergebnis rauskommt (was nicht immer trivial ist ^^).
Irgendwann löst man den lim auf und setzt für h 0 ein. Da aber am Anfang durch h geteilt wird, darf man das eben erst machen, wenn man ein bisschen umgeformt und gerechnet hat, denn sonst teilt man ja durch 0.

Nachdem du den Grenzwert berechnet hast (sofern eine Vorhanden ist) hast du auch die erste Ableitung deiner Funktion.

Ich hoffe das ganze konntest du mir einigermaßen folgen.
Vielleicht liefert jemand anderes noch eine bessere Beschreibung.

{Mathematische Fehler in diesem Text können Zufall, Absicht oder Unwissen sein :P}

{Mathematische Fehler in diesem Text können Zufall, Absicht oder Unwissen sein :P}

Absicht???

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@SlowPhil

Ja, um den Sachverhalt einfacher zu machen.

 Beispiel: sqrt(4)
Mathematisch ist nur die Antwort +2 korrekt (also der Betrag des Radikand). Dennoch wird bspw. in der Schule vom Lehrer (nicht alle ^^ aber es gibt welche die machen das) behauptet, das Ergebnis beim radizieren ist immer das positive und das negative Ergebnis. Somit ist es mathematisch nicht korrekt; aber um die Schüler vorzubereiten auf sqrt(x²) [als Beispiel, bei welchem dann formal eine Fallunterscheidung gemacht werden muss] wird beim Thema schon oft gelogen, damit die Schüler es sich angewöhnen bzw es als einfacher empfinden.

Lange Rede kurzer Sinn:
Manchmal muss/darf man nicht mathematisch korrekt sein, um die Erklärung zu vereinfachen.

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@SirNik

also h ist sozusage die Distanz von einem punkt zum anderen in einer Funktion und dieser wird 0, weil es nur einem Punkt gibt?

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@SirNik

Kann ich h immer gegen 0 laufen? Also waere beim differenztialquotient h immer 0?

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Ja; h läuft bei der h-methode immer gegen 0. Du kannst dir gerne die Themen im Link durchlesen, dort wird alles ausführlich erklärt ^^

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