was ist eine Basiswechelmatrix und wie erhalte ich sie?

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2 Antworten

Ich werde hier nur auf den Basiswechsel eingehen, da der Gauß-Jordan-Algorithmus damit nichts zu tun hat.

Betrachten wir exemplarisch den R² mit Standardbasis B = {(1,0) ; (0,1)} und einer weiteren Basis B' = {(1,1) ; (2,1)}. Es lässt sich leicht erkennen, dass B' tatsächlich eine Basis ist.

Nun fassen wir die Basen nicht als Mengen sondern als Matrizen auf, also:

  • B = ((1,0);(0,1)) zeilenweise gelesen
  • B' = ((1,2);(1,1)) zeilenweise gelesen

Nun suchen wir die Basiswechselmatrix T mit TB = B' (ggf. habt ihr eine andere Position für T in der Gleichung gewählt, aber das ändert am Prinzip nichts).

Nun ist: (1,1) = 1*(1,0) + 1*(0,1) und (2,1) = 2*(1,0) + 1*(0,1).
Damit ist T = ((1,2);(1,1)) [zeilenweise gelesen] die gesuchte Basiswechselmatrix.

Danke! nur wie komme ich auf den anderen Vektor den b'? da harkt es bei mir grade...

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@Simonfragtjetzt

Naja es handelt sich hier um zwei Sachverhalte:

  1. Gegeben sind zwei Basen B, B' und zu bestimmen ist die Basiswechselmatrix T. Das ist der von mir erläuterte Fall. B' ist hierbei schon vorgegeben.
  2. Gegeben sind eine Basis B und eine Basiswechselmatrix T. Zu bestimmen ist die neue Basis B'. Dann ist B' = BT (wobei hier zu beachten ist, welche Basiswechselmatrix T ist, also von B nach B' oder von B' nach B. Dadurch könnte sich die Gleichung zu B'T = B ändern)
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@QuestLeo

danke, genau das ist mein Problem... ich habe nur eine Matrix und die Info das der Vektorraum ein Körper ist, auf den das geht... und da hab ich meine Probleme, habe auch ein Erzeugnis... und da liegt der Ochse im Felde begraben....

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@Simonfragtjetzt

Kannst du das vielleicht mal konkreter beschreiben? Du hast ja auch ein Erzeugnis gegeben, welches? Denn wenn das Erzeugnis der Vektorraum ist, dann sind die erzeugenden Elemente (sofern linear unabhängig) Vektoren einer weiteren Basis.

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@QuestLeo

okay habe nun die Aufgabe rausgesucht, weiß nur nicht wie ich sie hier ins Kommentar bekomme....

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Hi,

ich verstehe nicht was du meinst, also rate ich mal.

B' ist oft die inverse Matriux eine Matrix B. Es gilt dann BB' = E.

Hilft das?

abibabo.de

also ein wenig, also muss ich von der Matrix erst die Basis von der Inversen ausrechnen um dann auf die Basiswechselmatrix zu kommen?

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