Was ist eine Ableitung?

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3 Antworten

Hallo,

wenn f : x → f(x)  eine differenzierbare Funktion ist, dann ist f'(x₀) die Steigung der Tangente an den Funktionsgraph von f an der Stelle x = x₀.

Die Tangente t  berührt den Funktionsgraph im Punkt P(x₀;f(x₀)).

Das gilt nun für jedes beliebige x₀ (für das f und die Ableitung f' definiert sind). Also kann man für x₀ auch x wählen.

Das heißt, dass f'(x) die Steigung der Tangente an den Funktionsgraph von f an der Stelle x ist.

Die Tangente t berührt den Funktionsgraph im Punkt P(x;f(x))

f' ist also selbst wieder eine Funktion, die jedem x die Steigung der Tangente an den Funktionsgraph von f an der Stelle x zuordnet.

Folgendes Beispiel im Bild:

f(x) = 0,2x²  (eine abgeflachte Parabel)

Die Ableitung von f ist f'(x) = 2•0,2x¹ = 0,4x, also 

f'(x) = 0,4x

Die Steigung der Tangente an den Funktionsgraph C(f) von f  für x = 3 ist

f'(3) = 0,4•3 = 1,2, also   f'(3) = 1,2

Die Gleichung der Tangente t, die die Kurve bei x=3 berührt, ist

t(x) = f'(3)•(x-3) + f(3) = 1,2•(x-3) + 0,2•3² = 1,2x - 3,6 + 1,8 = 1,2x - 1,8,

also  t(x) = 1,2x - 1,8 ,  oder t(x) = f'(3)x - 1,8

Die Tangente t berührt die Funktionskurve im Punkt P(3; 1,8)

Gruß

Ableitung = Steigung der Tangente - (Mathematik, Funktion)
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Nimm mal deine Funktion f(x) = x². Dann wäre die erste Ableitung zum Beispiel f´(x) = 2*x.

Wenn du den Anstieg der Funktion in einem bestimmten Punkt des Graphen wissen willst, dann setzt du diesen Punkt (x1) in die abgeleitete Funktion ein und erhältst mit f´(x1) den Anstieg der Ursprungsfunktion in diesem Punkt.

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Der Funktionswert der Ableitung f'(x) gibt für jedes x die Steigung der Funktion f(x) an.

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