Was ist die Steigung der Steigung?

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5 Antworten

Wenn du eine Ableitung als Kurve zeichnest, ist deren Ableitung genau so eine Form wie sie selbst.
Die 2. Ableitung der Kurve ist die 1. Ableitung der 1. Ableitung. Im Zusammenhang verhält sich die Kurve zur 1. Ableitung wie die 1. Ableitung zur 2. Ableitung.

Die Extremwerte der Kurve kommen in der Ableitung als Nulstellen wieder.
Entsprechend die Extremstellen der 1. Ableitung (Wendepunkte) von der Kurve aus gesehen. Und da sich beim Wendepunkt die Krümmung verändert, kann man genau diese an y'' ablesen.

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Eine (stetige) Funktion hat an jeder Stelle eine bestimmte Steigung. Diese gibt an, wie starkt der Graph an einer bestimmten Stelle steigt/sinkt.

Die Funktion, die die Steigung des Graphen angibt, heißt Ableitung.

Diese Ableitung hat aber auch wieder an jeder Stelle eine bestimmte Steigung. Diese gibt an, wie stark die Ableitung an einem bestimmten Punkt ändert, also wie stark der Graph an einer Funktion seine Steigung ändert.

Das nennt sich Krümmungsverhalten.

Wie stark krümmt sich die Funktion an einem bestimmten Punkt?

Das gibt die Ableitung der Ableitung, also die zweite Ableitung, an.

Ich hoffe, ich konnte dir helfen; wenn du noch Fragen hast, kommentiere einfach.

LG Willibergi

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Was Du als "Steigung der Steigung" bezeichnest ist die Veränderung der Steigung.

Jetzt mal Schritt für Schritt: Steigung ist klar ? Wenn x wächst, dann wächst auch der abhängige Funktionswert f(x).

Wie stark wächst er ? Bei einer Geraden ist diese Wachstum konstant: f(x) = mx +b ; Steigung ist m

Liegt eine steigende Kurve vor, dann ist die Steigung an "allen" Punkten x unterschiedlich ("allen" ist nicht ganz richtig, es kann natürlich 2 oder meherere Punkte geben, in denen sie gleich ist). Haben wir eine Kurve, die nach oben gekrümmt ist (mindestens partiell) dann heißt diese, die Steigung wird immer größer (z.B. Exponentialfunktion, oder Parabel f(x) = ax² +b (a>0) rechts vom Scheitelpunkt); es ist klar, die Kurve wird immer steiler, bis sie fast senkrecht nach oben geht. Fährts Du so eine Funktion mal mit dem Finger nach, (oder mit einem kleinen Matchboxauto), dann wird Dir klar, das sie eine ständige Linkskurve beschreibt.

Wenn man die Steigung als Funktion von x aufschreibt, aufmalt,  dann erhält man eine Gerade (bei obiger Parabel) oder sogar wieder eine gekrümmte Kurve. Diese Steigungsfunktion bestimmt man durch die 1.Ableitung. Diese Steigungsfunktion ist also wieder steigend. Wenn man die 2 Ableitung bildet, dann ist sie in jedem Punkt (dieser Linkskurve) positiv.

Liegt eine fallende Kurve vor (z.B. Logarithmusfunktion, Polynom f(x) = ax² + b (mit a<0), dann ist alles gerade umgekehrt: die Kurve steigt zwar, aber mit wachsendem x immer weniger, die Kurve ist nach unten gekrümmt, bildet eine Rechtskurve, die erste Ableitung ist zwar >0 aber die zweite ist schon negativ.

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Kommentar von bergquelle72
20.10.2016, 19:12

P.S. Bei etwas komplexeren Funktionen kann die Steigung mal wachsen und auch mal wider schwächer werden (aber immer noch positiv sein, d.h. die Kurve steigt weiterhin. Das wäre dann ein allmählicher Übergang von Linkskurve zu Rechtskurve (oder anders herum). Den Punkt, an dem der Übergang stattfindet, nennt man Wendepunkt. Dort ist (siehe auch oben) die 2. Ableitung nicht positiv und auch nicht negativ, d.h. = 0.

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Die Steigung zeigt ja an, wie steil eine Funktion ist. Nun ist die Funktion nicht an allen Stellen gleich steil - wenn man also von Stelle zu Stelle wandert, verändert sich die Steigung. Wenn sich die Steigung verändert, dann krümmt sich die Kurve (bei konstanter Steigung hätte ich eine Gerade). 

Jetzt ist die Frage, wie man diese Veränderung der Steigung (=Krümmung des Graphens) messen kann. Und dazu betrachte ich die Änderungsrate der Steigung. Und so wie die Änderungsrate der Ursprungsfunktion die Steigung der Funktion ist, so ist die Änderungsrate der Steigung eben die Steigung der Steigung. 

Und noch eine Anmerkung: Du bombadierst diese Forum seit einigen Tagen pausenlos mit solchen Fragen. Vielleicht solltest du darüber nachdenken, dir andere Hilfe dazu zu holen, wir können immer nur punktuell helfen. Und wenn du hier Fragen stellst und sich Leute die Mühe machen, diese Fragen zu beantworten, dann gehört es sich, auch mal auf die Antworten zu reagieren, sich zu bedanken, Fragen als hilfreich zu kennzeichnen usw. Von dir habe ich noch keine Reaktion gesehen. Das ist - wie im wirklichen Leben - ziemlich unhöflich. 

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Soweit ich weiß zeigt die Ableitungsfunktion die Steigung der Ausgangsfunktion an. Das Krümmungsverhalten spielt eine Rolle bei der Errechnung der Wendestellen der bestimmten Funktion. Du musst die Nullstellen der zweiten Ableitungsfunktion in die dritte Ableitungsfunktion einsetzen. Wenn x gleich größer als 0 ist so ist es eine Rechts-Linkskrümmung wenn x kleiner als = ist so ist es eine Links-Rechtskrümmung. 

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Kommentar von tarik777
20.10.2016, 18:50

Durch die entsprechende Krümmung ändert sich auch die Steigung der entsprechende Funktion

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