Was ist die Stammfunktion von ln(x)/x?

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4 Antworten

Lösung mit partieller Integration:

Formel: Int(uv')=uv-Int(u'v)

f(x)=ln(x) * 1/x

u=ln x; u'=1/x
v'=1/x; v=ln x  <-- hier muss man natürlich voraussetzen, dass man das
                            weiß...

in die Formel eingesetzt:

Int(ln(x) * 1/x) = ln(x) * ln(x) - Int(1/x * ln(x))   |+Int(1/x * ln(x))
2 * Int(...) = ln²(x)                                            |:2
Int(...) = ln²(x)/2

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sideswipe 25.10.2016, 17:25

geht das auch mit Substitution oder muss ich die pat. Integration anwenden?

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Rhenane 25.10.2016, 17:41
@sideswipe

geht auch:

Ist mit dem "du/dx-Kram" nicht für jedermann leicht nachzuvollziehen:

u=ln(x) ; abgeleitet: du/dx=1/x => dx=du/x

=> Int(ln(x)/x dx)= Int(u du) = 1/2 u² = 1/2 ln²(x)


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In diesem Fall empfehle ich die partielle Integration. Wirst sehen, dass es anfänglich so aussieht als wenn Du Dich im Kreis drehst. Aber dann schau Dir Dein vorläufiges Ergebnis an und betrachte es als Gleichungssystem.

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f(x) = ln(x) * (1/x)

Beachte:

(ln(x))´ = 1/x

Damit folgt sofort:

Int( f(x)dx ) = Int ( ln(x)*(1/x) dx ) = 0.5* Int( 2*ln(x)*(1/x) dx )

Inverse Kettenregel:

da  (u(x))²  =  2*u´(x)*u(x)   folgt hier mit u(x) = ln(x)

0.5* Int( 2*ln(x)*(1/x) dx ) = 0.5*ln(x)² + const.

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u=lnx

x=e hoch u

x ' = e hoch u

dx = x ' • du

Stammf = 1/2 u²

also 1/2 • (ln x)²

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