Was ist die Motivation hinter dem Fundierungsaxiom?

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Ich bin jetzt nicht übermäßig in der axiomatischen Mengenlehre drin, aber soweit ich weiß, werden damit Zyklen verhindert. Beispielsweise eine Menge

X = {X}

kann es dadurch nicht mehr geben, weil X nicht von X disjunkt ist.

Woher ich das weiß:Studium / Ausbildung – Mathestudium

ist es normal, dass man da Vostellungsprobleme hat?

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@michiwien22

Ich denke schon... Die Dozenten übergehen ja nicht umsonst ganz gerne diese eigentlich fundamentalen Axiome ;) Für viele praktische Zwecke sind sie eher hinderlich, ohne einen Mehrwert zu liefern.

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@MagicalGrill

Ich finde es nur erstaunlich, dass es mir hier schon die Schädeldecke wegsprengt, obwohl das erst ein Axiom ist. Ich komme mir da ziemlich doof vor...

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@michiwien22

Die Axiome sind halt dafür da, grundlegende Konstruktionen mit Mengen zu ermöglichen, aber die "rücksichtslose" Mengenbildung der naiven Mengenlehre zu beschränken, um die berühmten Antinomien zu vermeiden.

Dieses Beschränken hat zur Folge, dass es "destruktive" Axiome geben muss. Und das Fundierungsaxiom ist ein solches Axiom, das einfach nur dafür da ist, manche Mengen zu verbieten. Es ist nicht Ziel der Sache, sich Mengen vorzustellen, die dem Axiom widersprechen ;)

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@MagicalGrill

OK, leuchtet grob ein, aber vorstellen kann ich mir immer noch nichts.

Gut: das Beispiel mit X={X} ist dadurch nicht möglich.

Aber es verhindert nicht

X = {X, {Ø}},

denn X ist mit {Ø} disjunkt, da letzteres ja nur Ø enthält, aber Ø ∉ X.

Somit haben wir aber wieder eine zyklische Definition - oder?

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@michiwien22

Richtig, das Fundierungsaxiom alleine reicht nicht aus.

Aber: Weil sowohl X als auch {X, {Ø}} Mengen sind, sorgt das Paarmengenaxiom dafür, dass A := {X, {X, {Ø}} eine Menge ist.

Nun ist A nicht disjunkt von X, denn beide enthalten X als Element.

A ist aber auch nicht disjunkt von {X, {Ø}}, denn beide enthalten X als Element.

Ich hoffe, ich hab keinen Denkfehler gemacht; das Thema ist auch für mich verwirrend ;)

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@MagicalGrill

Ja stimmt !

Jetzt weiß ich, warum ich Physik und nicht Mathematik studiert habe: Es hätte mich schon in der ersten Woche komplett zerlegt...

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@michiwien22

Jetzt wo ich drüber nachdenke, ist A = {X}, weil X und {X, {Ø}} ja identisch sind.

Das macht den Beweis aber nicht falsch, denn A und X sind nicht disjunkt ;)

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@michiwien22

Ich will die Schwierigkeit eines Mathematikstudiums nicht herunterspielen, aber es ist im ersten beiden Semestern in den meisten Fällen nicht allzu wichtig, jedes Axiom von ZF(C) formal zu begreifen. In den Anfangssemestern habe ich davon definitiv nichts gehört. Das "krasseste", was da im Anbetracht der Mengentheorie behandelt wurde, war es, die ganzen Zahlen mit Hilfe von Äquivalenzklassen zu konstruieren. Ist natürlich nur anekdotische Evidenz, aber mir sind auch so keine andere Fälle bekannt.

Zu Beginn wird Analysis und Lineare Algebra gelehrt, da geht man dankend davon aus, dass zumindest eine der "üblichen" Mengen, also meist N oder R, ohne weitere Argumentation existieren, die anderen werden dann eben daraus konstruiert.

Zum Beispiel oben gibt es auf stackexchange einen guten Austausch: https://math.stackexchange.com/questions/1339459/a-a-emptyset-and-axiom-of-regularity?rq=1

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@MagicalGrill

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Ich wollte schon schreiben, dass die Menge OK ist, weil sie im ersten Moment ausgesehen hat, wie die Ordinalzahlen^^ Ist wohl Schlafenszeit.

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@MeRoXas

Das kann ich nur unterschreiben. Ehrlich gesagt habe ich nen Masterabschluss in Mathe gemacht, ohne ZFC im Studium auch nur einmal gelehrt zu bekommen (ich hab trotzdem mal aus Interesse reingeschnuppert, weil mir der Gedanke, auf unsicherem Boden zu stehen, ein leicht mulmiges Gefühl gab).

Bei all den "kleinen" Mengen, die man in den ersten Semestern bespricht, gibt es auch gar keinen Anlass, ZFC überhaupt in Betracht zu ziehen. Vorsichtig sollte man evtl ab gewissen Themen der Kategorientheorie werden.

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@MagicalGrill

wieso sind X und {X, {Ø}} identisch?

Sie enthalten ja nicht die selben Elemente.

Ich geh' jetzt schlafen, da ich nicht mehr mitkomme.

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Kurze Antwort: Es ist ein angenehmes Axiom.

Ohne Fundierungsaxiom (bzw. anderen ZF-Axiomen) würde man scheinbar widersprüchliche Mengen wie die "Russelsche Menge" bzw. die "Allmenge" konstruieren können.

Insbesondere die Russelsche Menge, die laut Definition "Die Menge aller Mengen, die sich nicht selbst als Element enthalten" sein sollte, führt zum logischen Paradoxon.

Denn einerseits ist die R.M. eine Menge, die sich nicht selbst enthält, aber gerade deswegen müsste sie in der Menge sein.

Es gilt dann...



Dass das sich irgendwo nicht ausgehen kann, ist logisch. Laut der naiven Mengenlehre nach Cantor konnte man diese Menge aber konstruieren. Darum geriet diese Mengenlehre auch so in Verruf und man wollte eine Neudefinition.

Die Neudefinition ist eben die axiomatische Mengenlehre, ZF bzw. ZFC ist die bekannteste/am meisten verbreitetste.

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Also zusammengefasst: Einige Mengenkonstruktionen gehen Mathematikern gegen den Strich, daher gibt es Axiome wie das Fundierungsaxiom, welches solche paradoxen Mengen ausschließt.

Woher ich das weiß:Studium / Ausbildung – Mathematik-Studium

Wäre die Menge X = {X, {Ø}} eine zulässige Menge?

denn das zweite Element ist doch soweit ich sehe disunkt zu X. Oder?

Zumindest würde diese durch das Fundierungsaxiom nicht ausgeschlossen - oder?

Wie viele Semester Mathematik muss man studiert haben, um das zu verinnerlichen?

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@michiwien22

Man will mit dem Axiom verhindern, dass sich eine Menge selbst als Element enthält.

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Das Fundierungsaxiom sagt:

Jede nicht leere Menge x hat ein Element y derart, dass kein Element von x Element von y ist.

Das Fundierungsaxiom ist dazu da, sicherzustellen, dass keine Menge sich selbst als Element enthalten kann.

Quelle: Siehe das Ende der Seite 3 in https://www.math.tugraz.at/~ganster/lv_grundlagen_mathematik_ss_2016/05_axiomatische_mengenlehre.pdf .

Wie die Bemerkung auf Seite 5 dieses Papiers zeigt, garantiert dieses Axiom zusätzlich noch, dass es keine unendlich tiefe Ineinanderschachtelung von Mengen geben kann hinsichtlich der Relation "hat als Element".

Hinsichtlich der Relation "ist Teilmenge von" ist unendlich tiefe Schachtelung aber durchaus möglich (die Menge aller rationalen Zahlen zeigt dies klar und deutlich, denn jedes Intervall positiver Länge L darin hat ein Teilintervall der Länge L/2).

Schön zu sehen, dass die Skripte von meinem Prof. im Internet so beliebt sind^^

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@Quotenbanane

Dein Prof war offensichtlich ein guter, denn er hat es nicht nötig, seine Skripte zu verstecken.

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Zeichne die Mengen doch Mal.

da tu ich mir schwer. Wenn du ein Beispiel hast - gerne.

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