Was ist die factored form von x^3+2x^2-5x-6?

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4 Antworten

x³+2x²-5x-6=(x+1)(x²+x-6)=(x+1)(x-2)(x+3)

Die faktorisierte Form von f(x)= x³ + 2x² - 5x - 6?

x1=2;

x³+2x²-5x-6:(x-2)=x²+4x+3;

=>f(x)=x²+4x+3*(x-2);

Mitternachtsformel:

x2=(-4+sqrt(4²-4*1*3))/2*1=(-4+sqrt(8))/2=-1;

x3=(-4-sqrt(8))/2=-3;

=>

f(x)=(x-2)*(x+1)*(x+3);

Danke für die Antwort aber was heissen die * in der letzten formula?

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  Schau mal, was Pappi alles weiß:

https://de.wikipedia.org/wiki/Satz_%C3%BCber_rationale_Nullstellen

   Der Satz von der rationalen Nullstelle ( SRN )

   Junge du lebst in aufregenden Zeiten. Wikis Behauptung nämlich, Opa Gauß habe den SRN auch nur gekannt geschweige entdeckt, stellt die GRÖSSTE FÄLSCHUNG DAR in der Geschichte der Matematik. Hey Mathe ist gar nicht so unintressant, wie du vermeinst; der SRN wurde 1990 gefunden von einem anonymen Internetgenie.

  1) Gauß ist doch Kult. Dann erkläre mir, warum euer Lehrer noch nie was vom SRN vernommen hat ( Ich weiß; der wollte euch nur prüfen. )

  2) Weißt du noch, warum Wurzel ( 2 ) irrational? ( Findest du notfals online; sogar auf Youtube )

   Halt Stop; und jetzt nochmal den Beweis über den SRN . Der Moment der Erleuchtung; im ===> Zen Buddhismus heißt er ===> Satori.  An sich nicht glaubhaft, dass weder Gauß noch seinen Nachfolgern dieser konzeptionell wesentlich einfachere Beweis gekommen sein soll.

   3) Was du als Schüler noch nicht wissen kannst: Die einzigen ernst zu nehmenden Algebrabücher sind Artin und v.cdd. Waerden ( beide 1930 ) Dein Schrat kenntr das natürlich; der soll mal abklären, ob da was vom SRN drin steht.

   Ich schick erst mal ab, weil dieser Editor so instabil läuft; es folgt aber noch eine Fortsetzung Teil 2.

  Aus der Algebravorlesung weiß man zurt Not noch; für ein kubistisches Polynom stellt sich die Alternative: Entweder es ist prim, also " kaputt " , das ===> Minimalpolynom seiner Wurzeln. Oder es spaltet eben einen rationalen Linearfaktor ( RLF ) ab; und vom SRN her wissen wir schon: Dieser RLF muss ganzzahlig sein, ein Teiler des Absolutgliedes 6 .

   Jetzt gehe ich mit einem ganz listigen Ansatz in das Polynom. Ich behaupte nämlich: Nicht nur spaltet dein Polynom einen RLF ab, sondern es zerfällt vollständig. Solche Ansätze sind in der Matematik nichts Unübliches quasi nach dem Motto " der Zweck heiligt die Mittel "

   Wie gehen wir vor? Vieta das geschmähte Stiefkind; du müsstest dir jetzt halt mal die Vietaformeln ansehen für den kubistischen Fall.

   f  (  x  )  =  x  ³  +  a2  x  ²  +  a1  x  +  a0         (  1a  )

    a2  =  2  ;  a1  =  (  -  5  )  ;  a0  =  (  -  6  )          (  1b  )

     a0  =  -  x1  x2  x3      (  2  )

   (  2  )  ist bereits eine der Vietagleichungen; die 6 besitzt die triviale Zerlegung 6 = 1 * 1 * 6 so wie die nicht triviale 6 = 1 * 2 * 3 . Aber wie vergeben wir die drei Vorzeichen?

   Nicht unintressant, dass du selbst als Student nie etwas von der cartesischen Vorzeichenregel ( CV ) erfährst; im diplom in Algebra konnte ich eine 1 Plus packen, ohne je von ihr gehört zu haben. Im Falle ( 1ab ) liefert die CV

       " Zwei Mal Minus, einmal Plus. "

    Streng genommen haben wir mit der CV sogar schon die erste Hürde genommen; der 3. Grad ist nämlich der kleinste, für den du Polynome konstruieren kannst, die schon laut CV gar nicht zerfallen können.

           x1  <  =  x2  <  0  <  x3       (  3  )

   Was ist das zweckmäßige Vorgehen?  Hier hat Raten mit System auf einmal Sinn; wir raten die einzelne positive Wurzel und gehen alle Kombinationen durch. Diskriminante ist Vieta a2

          a2  =  -  (  x1  +  x2  +  x3  )        (  4  )

    x1     =  (  -  6  )  ;  x2  =  (  -  1  )  ;  x3  =  1  ;  a2  =  6             (  5a  )
    x1     =  (  -  3  )  ;  x2  =  (  -  2  )  ;  x3  =  1  ;  a2  =  4             (  5b  )
    x1     =  (  -  3  )  ;  x2  =  (  -  1  )  ;  x3  =  2  ;  a2  =  2             (  5c  )    ; ok
    x1     =  (  -  2  )  ;  x2  =  (  -  1  )  ;  x3  =  3  ;  a2  =  0             (  5d  )
    x1;2  =  (  -  1  )                             ;  x3  =  6  ;  a2  =  (  -  4  )             (  5e  )

    Jetzt wird es eng; bliebe nur noch Vieta a1, angewandt auf die einzige überlebende Alternative ( 5c )

   a1  =  (  x1  +  x3  )  x2  +  x1  x3  =  ( - 1 ) * ( - 1 ) - 2 * 3  =  (  -  5  )   ;  ok

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(x+1)(x-2)(x+3)

zunächst x= -1  raten und dann

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