Was ist der Unterschied zwischen n und n+1 natürlicher Zahlen?

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4 Antworten

Der Unterschied zwischen n und n+1 ist genau 1 ;-)

Ob für die Induktionsannahme n und für den Induktionsschritt n+1 oder
ob für die Induktionsannahme n-1 und für den Induktionsschritt n genommen wird, das ist völlig egal!
Hauptsache es sind 2 variable, aufeinander folgende natürliche Zahlen.

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Kommentar von ToniKim
25.06.2016, 00:24

Wegen geraden und ungeraden Zahlen?

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Irgendwann hat mal jemand damit angefangen, als Indizes für den Induktionsschritt n und n+1 zu nehmen, und alle haben das nachgemacht.

Selten, aber nicht niemals, habe ich auch gesehen, dass jemand die Indizes n-1 und n verwendet.

Ist mathematisch letztlich egal, man muss nur ein wenig aufpassen, wie man den Induktionsanfang formuliert.

Die Verwendung von n-1 und n hat hauptsächlich dann Vorteile, wenn man einem Computer Rekursion beibringen will - "n" ist ein zulässiger Variablenname, "n+1" nicht.

(Als Student hatte ich eine Studentenversion von Mathematica, da hab ich - wenig verwunderlich - regelmäßig Rekursionen und auch Induktionen von n-1, n-2, ... auf n gesehen.)

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Man setzt ja vorraus, dass die Aussage für n gilt (Induktionsbehauptung), und dann versucht man zu zeigen dass diese Aussage auch für n+1 gilt, und damit für alle n.

Man könnte zB auch vorraussetzen dass die Aussage für n-1 gilt, und dann auf n schließen, ist aber in wenigen Fällen einfacher.

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Man kann beides machen. Anfangs sieht man häufiger die Variante "Wenn es für n gilt, gilt es auch für n+1"; das hat den Vorteil, dass man bei der Induktionsvoraussetzung 1 zu 1 die Behauptung abschreiben kann. Das eliminiert eine unnötige Fehlerquelle.

Aber tatsächlich sehe ich inzwischen häufiger die Variante "Wenn es für n-1 gilt, gilt es auch für n" oder gar "Wenn es für alle Zahlen <n gilt, dann gilt es auch für n".

Wichtig ist nur, dass du von den vorherigen Zahlen auf die nächste schließen kannst. 

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