Was ist der Unterschied beim Taschenrechner zwischen tan und tan^{-1}?

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6 Antworten

Mit „tan⁻¹“ ist die Umkehrfunktion von „tan“ gemeint.

Im Bild ist ein rechtwinkliges Dreieck mit den Katheten x und y und der Hypotenuse

r = √{x² + y²}

dargestellt. Wenn Du den Winkel α kennst und das Verhältnis

y/x = tan(α)

wissen willst, musst Du „tan“ benutzen, wenn Du y/x kennst und α ausrechnen willst, „tan⁻¹“.

Zusatzinformation zur Schreibweise

Die Bezeichnung ist etwas irreführend, denn in Anlehnung an

sin²(α) := (sin(α))²

könnte „tan⁻¹“ auch als

(tan(α))⁻¹ = 1/(tan(α))

missverstanden werden; das ist aber der Cotangens und wird mit „cot(α)“ oder der aus naheliegenden Gründen bevorzugten Schweibweise „ctg(α)“ bezeichnet.

Mit „tan⁻¹“ ist hingegen die Umkehrfunktion der Tangensfunktion gemeint, der Arcustangens-Funktion, die mit „arctan(α)“ oder „atan(α)“ bezeichnet wird.

Der Bezeichnung „tan⁻¹“ liegt eine etwas abstrakte Vorstellung zugrunde, die „tan“ als Operator auffasst, der mit dem Winkel α gleichsam multipliziert wird und dabei dessen Tangens ausspuckt. In diesem Sinne wird der Arcustangens-Operator als eine Art „Kehrwert“ des Tanens-Operators aufgefasst.

Die „Eins“ im Reich der Operatoren ist der Identitätsoperator „id“, der eine Größe auf sich selbst abbildet: id(α)=tan⁻¹tanα = α.

Das gilt natürlich nur in einem begrenzten Bereich von α.

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Kommentar von SlowPhil
16.03.2017, 15:28

Nachtrag:

…dann kommt eine größere Zahl als bei tan…

kann nur sein, wenn der Rechner auf DEG eingestellt ist. Wenn arctan(y/x) im Bogenmaß ausgegeben wird, kommt immer etwas Kleineres heraus.

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Oft hat man folgende Gleichung gegeben:
tan(x) = Gegenkathete / Ankathete = y

Um nun den Winkel x auszurechnen, benötigt man die Umkehrfunktion:
x = atan(y)

Bei der Umkehrfunktion von tan(x) - genannt Arkustangens - gibt es 4 Schreibweisen: arctan(x) = atan(x) = tanˉ¹(x) = tan^(-1)(x)

Nicht verwechseln mit dem Kehrwert der Funktion tan(x): 1/tan(x) = tan(x)ˉ¹ = tan(x)^(-1)

Unter http://www.lamprechts.de/gerd/php/RechnerMitUmkehrfunktion.php
gibt es sehr viele Funktionen und ihre Umkehrfunktionen.

Beachte: den Winkel kann man neben der normalen Basiseinheit "rad"
auch in der veralteten Einheit ° (Grad; Taschenrechner DEG) angeben:
rechter Winkel = Pi/2 [rad] = 90°

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Den normalen tangens benutzt du,um mithilfe eines Winkels und einer Seite eine zweite Seite zu berechnen. Den tangens -1 kannst du benutzen,um mithilfe von zwei Seiten einen Winkel auszurechnen,also genau umgekehrt.

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Kommentar von lanamaurie
28.08.2013, 15:27

wie muss ich das eingeben, wenn ich zum beispiel die zweite seite berechnen will? also tan und dann winkel und dann in klammern die seite oder wie genau?

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tan(α)=Gegenkathete/Ankathete. α=tan^-1(Gegenkathete/Ankathete)

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tan ist Tangens und tan^-1 ist arcustangens also praktisch der Tangens bloß umgedreht

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tan alpha = Gegenkathete / Ankathete

alpha = tan^-1 ( Gegenkathete / Ankathete)

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