Was ist der sinus und cosinus überhaupt und wieso x?

1 Antwort

Sinus und Cosinus kann man in erster Linie als Funktionen beschreiben. Ähnlich wie die Wurzelfunktion Wurzel(x) als Ergebnis eine Zahl ergibt, die mit sich selbst multipliziert den Wert x hat, so geben sin(x) und cos(x) für einen Winkel x als Ergebnis die Länge der entsprechenden Kathete an (im Einheitskreis).

sin=Gegenkathete : Hypotenuse
cos=Ankathete : Hypotenuse

Beim Einheitskreis ist der Radius die Hypotenuse, und da der Radius gleich eins ist, stellt die Gegenkathete die Länge des sin dar und die Ankathete die Länge des cos.

Zeichnest Du nun im Einheitskreis ein Dreieck mit einem beliebigem Winkel x (oft nennt man ihn auch Alpha), dann entspricht die Länge des senkrechten Schenkels dem sin und der waagerechte Schenkel (die x-Achse) dem cos.

Hierbei ist zu beachten (und auch für spätere Aufgaben wichtig zu wissen), dass jeder Sinus/Cosinus im Einheitskreis zweimal vorkommt. Der Sinus taucht in jeweils gegenüberliegenden Quartalen doppelt auf, also in Quartal 1 und 2 und in Quartal 3 und 4. Der Cosinus in "übereinanderliegenden Quartalen", also in Quartal 1 und 4 und in Quartal 2 und 3.

Beispiele:
Der sin(45°) aus dem 1. Quartal taucht auch im 2. Quartal bei sin(180°-45°)=sin(135°) auf (also an der y-Achse gespiegelt).

Der cos(45°) taucht im 4. Quartal bei cos(360°-45°)=cos(315°) auf (hier an der x-Achse gespiegelt).

Statt des Winkels wird auch oft das "Bogenmaß" angegeben, also z. B. sin(pi)... Den entsprechenden Winkel kann man über den Dreisatz ermitteln; wichtig zu wissen ist hierbei, dass 360°=2pi sind (Umfang des Kreises bei r=1 !); also ist hier im Beispiel sin(pi)=sin(180°).

Beim Ermitteln des Sinus/Cosinus ist auf die richtige Einstellung des Rechners zu achten: rechnest Du mit Gradzahlen, dann muss er auf DRG (oder evtl. DEG) eingestellt sein; rechnest Du mit dem Bogenmaß, dann muß RAD eingestellt sein.

Über den Einheitskreis hinaus, kommen die beiden Sinus/Cosinus-Werte des Einheitskreises alle 360° (gleich alle 2pi) vor. Das ist wichtig, wenn Du den Sinus/Cosinus in vorgegebenen Intervallen untersuchen musst, die größer oder außerhalb von [0;2pi] liegen...

Hier hast Du zu dem Ganzen auch was "fürs Auge"; das ist oft verständlicher als viele Worte (vor allem das Applet in diesem Link):
https://de.serlo.org/mathe/geometrie/sinus-kosinus-tangens/sinus-kosinus-tangens-einheitskreis/trigonometrie-einheitskreis

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