Was ist der Rechenweg bei der Gleichung 3x^2 +36x -39= 0 (mit pq-formel oder quadratische ergänzung)?

5 Antworten

Bei der pq-Formel muss vorher immer durch den Faktor vor dem x ^ 2 geteilt werden, bevor man die pq - Formel anwendet :

Vor dem x ^ 2 steht in deinem Beispiel der Faktor 3, deshalb muss die Gleichung durch 3 geteilt werden :

3 * x ^ 2 + 36 * x - 39 = 0 | : 3

x ^ 2 + 12 * x - 13 = 0

Hätte vor dem x ^ 2 kein Faktor gestanden, was in Wahrheit der Faktor 1 wäre, weil x ^ 2 = 1 * x ^ 2 ist, dann kann man sich das teilen durch 1 sparen, weil das nichts verändert.

Nun kann man die pq-Formel anwenden :

x ^ 2 + 12 * x - 13 = 0

p = 12

q = - 13

p / 2 = 6

(p / 2) ^ 2 = 6 ^ 2 = 36

x _ 1, 2 = - (p / 2) ∓ √( (p / 2) ^ 2 - q )

x _ 1, 2 = - (6) ∓ √( 36 - (-13) )

x _ 1, 2 = - 6 ∓ √( 36 + 13 )

x _ 1, 2 = - 6 ∓ √( 49 )

x _ 1, 2 = - 6 ∓ 7

x _ 1 = - 6 - 7 = - 13

x _ 2 = - 6 + 7 = +1

"Bei der pq-Formel muss vorher immer durch den Faktor vor dem x ^ 2 geteilt werden, bevor man die pq - Formel anwendet"

Im vorliegenden Beispiel sollte man das auch tun, wenn man nicht die pq-Formel anwenden möchte.

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@rumar

Ja, genau, das sollte man.

Jedoch sieht man beim Anwenden der abc-Formel (Mitternachtsformel) meistens in Rechnungen von vielen Leuten, dass a und b und c unverändert in die Rechnung übernommen werden, ohne dass vorher geteilt wurde.

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@DepravedGirl

Ja. Die Denkfaulheit hat zugenommen, seit es Taschenrechner gibt. Früher suchte man jede Möglichkeit, sich die Rechenarbeit etwas angenehmer zu machen.

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Rechenweg mit pq-Formel:

3x² + 36x - 39 = 0  | /3 um Faktor vor x²auf 1 zu bringen
x² + 12x - 13 = 0  -> p = 12 , q = -13

pq-Formel anwenden:
x_1_2 = -(12/2) +/- Wurzel ((12/2)²-(-13)) = -6 +/- Wurzel(49) = -6 +/- 7
x1 = 1 ; x2 = -13

Rechenweg mit quadratischer Ergänzung:

x² + 12x - 13 = 0   |  (x+a) ² = x² + 2ax + a² ->  2a = 12 -> a =6

(x+6)² = x² + 12 x + 36 -> x² + 12x = (x+6)² - 36  | in obige Gleichung einsetzen:

(x-6)² - 36 - 13 = 0  |  +36 + 13
(x-6)² = 49
x-6 = +/- Wurzel (49) = +/- 7
x-6 = 7 -> x1 = 1
x-6 = -7 -> x2 = -13

Hallo,

wenn Du die pq-Formel anwenden möchtest, mußt Du das Ding erst einmal durch 3 teilen:

x²+12x-13=0

Wenn Du die Lösung jetzt nicht sofort erkennst, setzt Du p=12 und q=-13 in die pq-Formel ein.

Herzliche Grüße,

Willy

die Lösung?

die Gleichung hat zwei. Eine davonkonnte ich raten und damit kann man polynomdivision machen und dann hat man auch die andere Lösung.

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@DinoMath

Du brauchst nicht zu raten und brauchst auch keine Polynomdivision.

Nach dem Satz von Vieta ist x²+12x-13=(x-1)*(x+13), denn (-1)*13=-13 und (-1)+13=12.

Da (x-1)*(x+13) immer dann Null wird, wenn einer der Faktoren Null wird, muß x entweder 1 oder -13 sein.

Diese beiden Werte liefert Dir auch die pq-Formel:

-6±Wurzel (36+13)=-6+7=1 oder -6-7=-13

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