Was ist davon die erste Ableitung?

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Es gibt diverse Methoden um hier die Ableitung zu berechnen, schnellere und längere. Hier sollen mal zwei Versionen dargestellt werden:

Version 1: Produktregel

Allgemein:

Für die Ableitung des Produktes zweier differenzierbarer Funktion f und g gilt die sogenannte "Produktregel" der Form:



Speziell:

Durch einen einfachen Vergleich erkennen wir hier sofort:

 und

 Die einzelnen Funktionen g und f sind als solche sehr einfach abzuleiten, da es sich hierbei um einfache Polynome handelt. Es folgt mittels der Ableitungsregel für Polynome:

 und für die Funktion g



Da wir nun die Ableitungen kennen, können wir nun die obige Formel, die Produktregel, hier anwenden und erhalten:



Ausmultiplizieren und Zusammenfassen der einzelnen Terme liefert dann final:

 die gesuchte Ableitung.

Die nachfolgende zweite Version kommt ohne die Produktregel aus und ist hier an dieser Stelle sogar schneller. Dies ist aber hier hauptsächlich begründet durch die "Einfachheit" der Funktion.

Version 2: Direkter Ansatz (Vereinfachen der Funktion)

Allgemein:

Es kann häufiger vorkommen, dass wir Funktionen gegeben haben, welche in Produktform gegeben sind, bspw.:

 mit bekannten und differenzierbaren Funktionen g und h. Es kann nun manchmal vorkommen, dass es angebracht ist nach einer alternativen Darstellung dieser Funktion zu suchen, welche keine Multiplikation in obiger Form enthält. Ein paar Beispiele:

 



Ziel ist es eine möglichst einfach und schnell ableitbare Form zu erhalten.

Speziell:

Wir sehen hier, dass das einfache Ausmultiplizieren uns schon ohne erhöhten Aufwand eine "einfach ableitbare" Funktion liefert. Es folgt mit:

 durch ausmultiplizieren

 Diese Funktion lässt sich nun direkt ohne weitere Umwege mittels der Ableitregel für Polynome differenzieren und wir erhalten:



Das selbe Ergebnis wie in Version 1. Schließlich als Bestätigung, dass es sich hierbei um die richtige Ableitung handelt:

  • Wolfram Alpha: (Unter : "Expanded Form" )

http://www.wolframalpha.com/input/?i=(x+(x%5E2+%2B+1.5x+-+2.25))%C2%B4

  • Online-Ableitungsrechner: (Zum eigenen Überprüfen)

https://www.ableitungsrechner.net/

Also soweit ich weiß musst du erstdie die Klammer auflösen, dann die Produktregel anwenden. Viel Spaß aber das kriegst du hin :)

ENTWEDER die Klammer auflösen und ableiten ODER die Produktregel - aber nicht beides.

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