Was ist das Vorzeichenwechselkriterium?

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1 Antwort

Fangen wir mal langsam an ^^ Die hinreichenden Bedingungen für ein lokales Extremum an der Stelle x sind ja: Erste Ableitung an der Stelle x ist gleich 0, zweite Ableitung an der Stelle x ist ungleich 0.

Nun kann es sein, dass die zweite Ableitung an der Stelle x gleich 0 ist, das heißt aber leider noch nicht, dass dort kein Extremum vorliegt (Beispiel: f(x) = x^4).

Nun musst du das Vorzeichenwechselkriterium anwenden. Wie funktioniert das?

Als du die erste Ableitung gleich 0 gesetzt hast, hast du nach Punkten gesucht, in denen die Steigung der Ursprungsfunktion gleich 0 war. Liegt in einem solchen Punkt ein Extremum vor, so ändert sich um diesen Punkt herum das Vorzeichen der Steigung. Anschaulich erklärt: Wenn du z.B. ein lokales Minimum hast, sind alle Punkte in der Umgebung dieses Minimums höher als das Minimum selbst. D.h. wenn sich der Graph von links an das Minimum annähert, fällt er und wenn er vom Minimum weggeht, steigt er wieder (mach dir das Notfalls an einem Bild klar.)

Formal bedeutet das aber, dass die Ableitung in der Nähe links vom Minimum negativ sein muss, rechts davon positiv. Entsprechend andersherum verhält es sich bei lokalen Maxima.

Das Vorzeichenwechselkriterium nutzt das aus: Du nimmst dir einen Punkt heraus, der links ganz knapp am möglichen Extremum liegt und einen, der rechts ganz knapp am Extremum liegt. Achte bei der Wahl darauf, dass zwischen der kritischen Stelle und deinem gewählten Punkt kein weiteres Extremum oder eine Definitionslücke liegt. Nun prüfst du, ob die Ableitungen an den beiden Punkten unterschiedliche Vorzeichen haben. Ist dies der Fall, so liegt ein Extremum vor. Sind die beiden Vorzeichen identisch, so handelt es sich um einen Sattelpunkt.

Melvissimo 28.03.2012, 19:54

PS: Dieselbe Antwort hab ich schonmal irgendwo geschrieben, in manchen Fällen hilft die Suchfunktion weiter :D

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