was heißt monotonie?

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9 Antworten

Hallo,

Eine Funktion f: R->R ist monoton steigend, wenn für alle x,y aus R gilt: Aus x>y folgt f(x) >= f(y). Gilt sogar ein echtes >, dann heißt die Funktion streng monoton steigend. Monton fallend heißt sie entsprechend, wenn aus x>y die Relation f(x)<=f(y) folgt für alle x,y aus R. In einem Beispiel musst du x,y halt für negative Werte einschränken.

Beispiel: f(x) = x^2 ist für x>0 streng monoton steigend, denn für x>y>0 gilt: f(x)-f(y) = x^2-y^2 =(x+y) * (x-y) > (x+y) * 0 = 0.

hi iks72, du hast recht! ich habe es mit einer stationären stelle verwechselt. In deinem Beispiel wäre es dann ein Sattelpunkt.

Wenn x<0 ist, gilt jeweils f(x)>f(y) für x<y. Die Funktionswerte werden immer kleiner, je größer x wird.

Eine Kurve ist dann monoton fallend bzw. monoton steigend, wenn in einem vordefinierten Intervall alle Punkte Steigungen mit gelichem Vorzeichen haben. Dabei darf die Steigung nicht null sein, dies wäre dann ein lokales Extremum.

Monoton steigend: f'(x)>0 Monoton fallend: f'(x)<0

Für streng monoton fallend oder steigen vergleicht man mit kleiner gleich oder größer gleich.

feppy 02.10.2009, 14:24

Ich hab mir grade dein Anliegen noch mal angeschaut: eine Potenzfunktion wird ja mit a^x beschrieben, wobei a eine konstante ist. Gilt nun x<0 (x nimmt einen negativen wert an), dann steht nun im exponent eine negative zahl (a^(-x)). Diesen Ausdruck kann man wiederum in 1/(a^x) schreiben. Da a^x immer größe wird, wird das Gesamte immer kleiner. Ergo: die Funktionswerte nehmen ab, die Funktion ist monoton fallend.

Beispiel: 2^x mit x<0 x=-1: 2^(-1)= 1/(2^1)=1/2=0,5

x=-2: 2^(-2)=1/(2^2)=1/4=0,25

x=-3: 2^(-3)=1/(2^3)=1/8=0,125 usw.

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lks72 02.10.2009, 14:38

Hallo feppy,

eine Kleinigkeit zu deiner ersten Antwort. Eine Steigung 0 einer monotonen Funktion fordert nicht unbedingt ein lokales Extremum. Die Funktion f(x)=x^3 ist sogar streng monoton steigend, im Punkt 0 ist die Steigung 0, aber x=0 ist keine Extremstelle.

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monton bedeutet ohne Veränderung odes so... also hier jetzt monoton fallend bedeutet die Funktion wird immer "kleiner". Sie kann auch negative Werte annehmen. Aber niemals wider wird sie wider ansteigen. Ist eigentlich nichts besonderes

Der Begriff Monotonie steht für

* Einf&ouml;rmigkeit, Gleicht&ouml;nigkeit und Eint&ouml;nigkeit
* die gleichsinnige Steigung von Funktionen, siehe Monotonie (Mathematik)
* eine davon abgeleitete Spezialbedeutung, eine Eigenschaft einer Ableitbarkeitsrelation, siehe Monotonie (Logik)
* eine gleichf&ouml;rmige Intonation, siehe Monotonie (Phonetik)
* einen psychologischen Begriff, siehe Monotonie (Psychologie)
* die aus dem Wort &bdquo;Monotonie&ldquo; abgeleitete Musikrichtung, siehe Monoton Music

siehe wikipedia.de

lks72 02.10.2009, 13:58

Schön, wir sind hier auf der Matheseite. Was ist also deine Antwort?

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Hier: Links vom Achsenkreuz fällt die Funktion ab.

Streng monoton: gleichbleibend (Tangente waagerecht) ist nicht erlaubt.

fallend: Die Y-Werte (für den jeweiligen Graphen) nehmen in diesem Intervall ab.
steigend: evv.

Gleichbleibend eintönig.

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