Was hat merh Wertigkeit, Klammer oder multiplitkation

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5 Antworten

entweder (4x+2)(x-1) oder zuerst die beiden Klammern ausmultiplizieren und dann jeden mal 2 nehmen.

Die Regel heißt Klammer vor Punkt vor Strich. In deinem Beispiel wwird zuerst die erste Klammer mit 2 multipliziert und dieses Ergebnis mit der zweiten Klammer multipliziert. Ich kommen dann auch auf die 4x²-2x-2

In Ergänzung zu Cougar:

Es gilt sogar "hoch vor Punkt vor Strich", also 3² * 5 + 1 = 9 * 5 + 1 = 45 + 1 = 46.

Ein Klammer geht aber jeder anderen Rechenart voraus, aller Rechenoperationen, die in einer Klammer stehen, müssen zuerst ausgeführt werden, erst dann die Rechenoperationen, die die eingeklammerten Ausdrücke miteinander verbinden.

Deswegen macht "Auflösen von Klammer" die Anwendung von Rechengesetzen erforderlich. Da du vielleicht sonst nie so ganz sicher wirst, mache ich das mal "ganz genau und langsam". Ich gehe nur davon aus, dass du weißt, wie zwei Zahlen mit einander multipliziert werden.

Jeder verwendete Buchstabe bedeutet eine beliebige, aber feste Zahl.


Die Rechenvorschrift

2(2x+1)(x-1)

besagt:

Verdoppele x, zähle dann 1 dazu (das ergibt den Wert von 2x +1) und erhalte eine erste Zahl u.

Subtrahiere 1 von x (das ergibt den Wert von x-1) und erhalte eine zweite Zahl v.

Bestimme das Produkt von 2, u und v ( das ergibt den Wert von 2(2x+1)(x-1) ).

Ohne besondere Rechengesetze ließe sich nach dieser Rechenvorschrift der Ausdruck

2(2x+1)(x-1)

überhaupt nicht vereinfachen, wenn noch nicht einmal bekann ist, ob x eine Zahl ist.


Wenn x (wie alle Buchstaben hier) eine Zahl bedeuten soll, gelten aber

  • das Assoziativgesetz des Multiplikation:

i * j * k = (i * j) * k = i * (j * k)

d.h. das Produkt dreier Zahlen wird durch "Einstreuen von Klammern" berechnet, indem zunächst das Produkt zweier benachbarter Zahlen berechnet wird, und diese neue Zahl mit der dritte Zahl multipliziert wird.

  • das Kommutativgesetz der Multiplikation:

p * q = q * p

  • das Links-Distributivgesetz:

a * (b + c) = a * b + a * c;

  • das Kommutativgesetz macht aus dem Links-Distributivgesetz auch ein Rechts-Distributivgesetz:

b * a + c * a =

Kommutativgesetz der Multiplikation:

a * b + a * c =

Linksdistributivgesetz, von rechts nach links gelesen:

a * (b + c) =

Kommutativgesetz der Multiplikation (denn was in der Klammer steht, zählt als eine vor der Multiplikation ausgerechnete Zahl):

(b + c) * a;


Deswegen lässt sich der Term deiner Aufgabe doch vereinfachen.

2 (2x+1) (x -1) =

Klammern einstreuen nach Assoziativgesetz der Multiplikation:

[ 2 (2x+1) ] (x -1) = linksdistributiv:

[ 2 * 2x + 2 * 1] (x - 1) =

assoziativ ist 2 * 2x = (2 * 2) * x = 4x (wieder wird die Zahl in Klammern zuerst bestimmt)

[4x + 2](x - 1) = rechtsdistributiv:

4x * (x -1) + 2 * (x -1) = linksdistributiv:

4x * x + 4x *(-1) + 2 * x + 2 * (-1) =

assoziativ: 4 * x * x = 4 * (x * x) = 4x² ;

kommutativ: 4 * x * (-1) = 4 * (-1) * x;

assoziativ: 4 * (-1) * x = (4 * (-1) ) * x = (-4) * x;

4x² +(-4)x +2x -2 = rechtsdistributiv, von rechts nach links gelesen:

4x² +[ (-4) +2] x -2 =

4x² +[ -2] x -2 =

4x² -2x -2;


Es gibt verschiedene Rechenwege, die zum gleichen Ergebnis führen. Zum Beispiel hättest du in

2 (2x+1) (x -1) =

auch anders Klammern einstreuen können:

2 * [ (2x+1)(x -1) ] = (...)

...probiere es aus.


Um die Liste der wichtigen Rechengesetze für Zahlen vollständig zu machen: Zu erwähnen ist noch

  • das Assoziativgesetz der Addition:

a + b + c = (+ a + b) + c = + a+ (b + c);

  • das Kommutativgesetzt der Addition:

e + f = f + e,

dass diese Gesetze in meinem Rechenweg nicht gebraucht wurden, ist eher Zufall, sie gehören genauso zum den "Standard-Rechengesetzen" wie die oben erwähnten.

Du hast drei Faktoren: 2, (2x+1) und (x-1).

In welcher Reihenfolge du die jetzt multiplizierst, ist egal - da sorgt das Assoziativgesetz für. Es macht also keinen Unterschied, ob du zuerst

(2 * (2x +1) ) * (x-1) = (4x +2)(x-1) = 4x² + 2x - 4x - 2 = 4x² - 2x - 2

rechnest oder

2 ((2x+1) * (x-1)) = 2 * (2x² - 2x + x - 1) = 2 * (2x² - x + 1) = 4x² - 2x - 2

Es kommt dasselbe heraus.

Nur eins verstehe ich nicht. bei deinem ersten rechen Weg hast du den ganen ersten Teil mit der zweiten klammer multipliziert, es ist verwirrend. Warum nimmst du den ganzen ersten Teil? Ich hatte das so gemacht: 2(2x-1) => 4x+2 4x+2(x-1) => 4x+2x+2 => 6x+2 wo habe ich das meinen denkfehler ?

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@FlorianV

Ich habe die ganze erste Klammer mal zwei genommen und dann die ganze Klammer mal der zweiten Klammer genommen. Wenn ich nur einen Teil der Klammer nehme (so wie du) dann vernachlässige ich die Tatsache, dass die Klammer stärker ist als das Mal.

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@FataMorgana2010

Mach es dir mal mit Zahlen klar:

88 = 8 * 11

= (3 + 5)(7 + 4) = 3 * (7+4) + 5 * (7+4)

= 3 * 7 + 3 * 4 + 5 * 7 + 5 * 4 = 21 + 12 + 35 + 20 = 88

Du hättest gerechnet:

(3 + 5)(7 + 4) =(! - falsch) 3 + 5 * 7 + 5 * 4. = 58.

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beides gleich, es kommt dasselbe raus. Aber grundsätzlich rechnet man von links nach rechts. also die 2 zuerst mit der ersten Klammer ausmultiplizieren, und das Ergebnis ALS GANZES, also auch wieder als wenn um eine Klammer drum ist, mit der zweiten klammer multiplizieren

das ist dann (4x+2)(x-1)

ergibt 4x²-4x+2x-2

und das ist 4x²-2x-2

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