Was habe ich bei dieser Volumensberechnung eines Torus nur falsch gemacht - kann jemand meine Rechnung verfolgen und sagen, wo der Fehler liegt?

Rechnung - (Mathe, Mathematik, Funktion)

2 Antworten

∫(r²-x²)^0,5·dx geht nicht mit der Potenzregel, da in der Klammer ein x² vorkommt!

Du musst vorher substituieren:

x = r·cos(z) →
∫√(r²-r²·cos²z)·(-r·sinz)·dz =
∫-r²·√(1-cos²z)·(·sinz)·dz =          cos²z+sin²z=1 anwenden
∫-r²·√(sin²z)·(sinz)·dz =
-r²·∫sin²z·dz =                              cos(2z) = cos²z-sin²z   anwenden
-r²·∫(1-cos2z)·dz
...usw → siehe http://www.mathepedia.de/sqrt(a_2-x_2).aspx

Hallo carbonpilot01

Die Rechnung ist richtig bis zum Term
pi*Integral von -r bis +r über 4RWurzel(r²-x²)dx bzw. mit herausgezogenem R:
V = 4*pi*R *Integral von -r bis +r über Wurzel(r²-x²)dx.

Für die Funktion Wurzel(r²-x²) wird in einer Formelsammlung von Wikipedia als Stammfuntion, also als Integral, angegeben:
(1/2)*(r²arcsin(x/r) + xWurzel(r²-x²)).
Dieses müsste man also noch mit 4*pi*R multiplizieren, an der oberen und unteren Grenze (r und -r) ausrechnen und das Ergebnis an der unteren Grenze vom Ergebnis am der oberen Grenze abziehen.

Es grüßt HEWKLDOe.

Heh HEWKLDOe, ich bin so vorgegangen, aber es scheint immer noch falsch zu sein. Ich habe dazu gerade eine neue Frage eröffnet. LG carbonpilot01

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