Was habe ich bei der Volumensberechnung eines Torus schon wieder falsch gemacht - ist das Integral falsch aufgelöst worden?

Volumen eines Torus - (Körper, Mathe, Mathematik)

2 Antworten

Hallo,

ich würde nur von 0 bis r integrieren und das Ergebnis verdoppeln, weil die Kreisgleichung achsensymmetrisch ist.

Hast Du daran gedacht, die Funktion unter dem Integral zu quadrieren?

Das Rotationsvolumen berechnet sich nach der Formel Pi*INT[f(x)]²dx

Wenn Du einen Kreis, der seinen Mittelpunkt irgendwo auf der y-Achse hat und nicht auf dem Ursprung, mußt Du das Rotationsvolumen des unteren Halbkreises von dem des oberen abziehen.

Die Kreisgleichung liefert Dir je nach Vorzeichen immer nur einen Halbkreis.

Herzliche Grüße,

Willy

Guten Morgen Willy,

vielen Dank für Deine Antwort.

Ich habe eigentlich alles genau so gemacht, wie Du beschrieben hast.

Nur das mit dem von 0 bis r integrieren halt nicht, spielt aber vom Ergebnis her eigentlich keine Rolle!

Ich habe in diese Frage gerade noch meinen kompletten Lösungsansatz hochgeladen, vielleicht siehst Du ja noch den Fehler.

Mir fällt jedenfalls keiner auf.

LG carbonpilot01

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@carbonpilot01

Wenn Du integrierst, kommst Du für F(x) und G(x) auf

r²x-x³/3±R*(x√(r²-x²)+r²*arcsin (x/r))

Integrierst Du von 0 bis 0, hat das den Vorteil, daß die Wurzel verschwindet, denn für x=0 werden sowohl F(x) als auch G(x) gleich Null) und für x=r wird der Term unter der Wurzel gleich Null.

F(r) ist dann (2/3)r³+R*r²*arcsin (1)

G(r) ist (2/3)r³-R*r²*arcsin (1)

F(r)-G(r)=2R*r²*arcsin (1)

Das Ganze mal 2 ergibt 4R*r²*arcsin (1)

Für das Volumen mußt Du jetzt nur noch mit Pi multiplizieren.

Dein Fehler ist nun, daß Du für arcsin (1) 90° genommen hast. Das ist zwar richtig, daß einem Sinus von 1 ein Winkel von 90° entspricht, Du mußt hier aber im Bogenmaß rechnen:

arcsin (1)=Pi/2

So kommst Du auf 2Pi²R*r²

Herzliche Grüße,

Willy

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@Willy1729

Oben muß es natürlich heißen: Integrierst Du von 0 bis r, nicht von 0 bis 0, das wäre ja Blödsinn.

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Vielen lieben Dank! Das gibt auf jeden Fall den Stern. Du hast mir so geholfen 👍

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Im Anhang ist meine komplette Rechnung zu sehen.

Meine komplette Lösung - (Körper, Mathe, Mathematik)

Es ist immer etwas anstrengend, wenn ein solches Bild auf der Seite liegt. Natürlich ist es möglich, das Bild zu drehen, aber nicht innerhalb der App.

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