was genau bedeutet die formel B(t+1)?

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3 Antworten

Hallo,

Du hast es hier mit der Formel für beschränktes Wachstum zu tun.

Der Gedanke dahinter ist folgender:

Ein Baum, der krank ist, kann nicht erneut erkranken und fällt aus der Rechnung heraus. Er stirbt eben irgendwann ab oder muß gefällt werden. Jedenfalls ist er weg.

Bei dieser Rechnung werden keine neuen Bäume angepflanzt, sondern der Bestand verringert sich kontinuierlich. Pro Jahr erkranken 8 % der bis dahin noch gesunden Bäume.

Für das erste Jahr ist das noch einfach zu berechnen:

10000*0,08=800

Nach einem Jahr sind also 800 Bäume erkrankt.

Nun kannst Du aber nicht einfach so weiterrechnen, indem Du für das zweite Jahr etwa - wie aus der Zinseszinsrechnung gewohnt - einfach 10000*0,08^2 rechnest, denn dann würdest Du 8 % der erkrankten Bäume berechnen und kämst so auf 64 erkrankte Bäume im zweiten Jahr, was nicht sein kann.

Es geht anders:

Du mußt die im ersten Jahr erkrankten Bäume, 800 an der Zahl, von den 10000 Bäumen abziehen. Das ergibt 9200 Bäume, von denen im zweiten Jahr wieder 8 % erkranken: 9200*0,08=736.

Im dritten Jahr ziehst Du diese 736 von den 9200 Bäumen ab: 8464 und berechnest davon wieder 8 %: 8464*0,08=677,12, rund 677.

So geht das immer weiter. Die neuerkrankten Bäume werden von den bis dahin noch gesunden abgezogen und mit 0,08 multipliziert.

Wenn Du auf diese Weise aber berechnen möchtest, wieviel Bäume etwa im 15. Jahr neu erkranken, hast Du ordentlich zu tun.

Kann man das nicht abkürzen?

Die erste Überlegung ist: Wenn ich wissen möchte, wieviel Bäume im 15. Jahr neu erkranken, interessiert mich eigentlich gar nicht, wieviele im 6. Jahr erkrankt sind.

Interessant ist eigentlich nur, wieviel Bäume bis zum 14. Jahr noch gesund waren. Nimmt man von denen 8 %, ist das die Zahl der Neuerkrankungen.

Wenn 8 % der Bäume in einem Jahr krank werden, bleiben 100 %-8 %=92 % gesund. Von diesen bleiben im nächsten Jahr wieder 92 % gesund usw.

Du kannst also sagen: Nach 14 Jahren hast Du 10000*0,92^14 gesunde Bäume übrig. Diesmal kannst Du die Zinseszinsrechnung anwenden.

Wenn Du diese Zahl mit 0,08 multiplizierst, hast Du die Zahl der neuerkrankten Bäume im 15. Jahr.

Nun mit Buchstaben:

B(t) ist die Anzahl der bis zum Jahr t erkrankten Bäume.

Nach drei Jahren wären das 10000 abzüglich der bis dahin noch gesunden Bäume, also 10000-10000*0,92^3

Allgemein hast Du nach t Jahren insgesamt 10000-10000*0,92^t erkrankte Bäume.

Du kannst die 10000 ausklammern: B(t)=10000*(1-0,92^t)

Wenn Du nun wissen möchtest, wieviel Bäume im Jahr t+1, also im darauffolgenden Jahr neu erkranken, berechnest Du einfach die Differenz zwischen den bis zum Jahr t+1 erkrankten Bäume und den bis zum Jahr t, also dem Jahr zuvor erkrankten Bäume:

10000*(1-0,92^t*0,92)-10000*(1-0,92^t)

Das entspricht B(t+1)-B(t).

Du kannst noch 10000 ausklammern:

10000*(1-0,92^t*0,92-(1-0,92^t))=10000*(0,92^t-0,92^t*0,92)

Noch mal 0,92^t ausklammern:

10000*0,92^t*(1-0,92)=10000*0,92^t*0,08

Das ist die Zahl der neuerkrankten Bäume im Jahr t+1, also das, was in diesem Jahr zu B(t) hinzukommt.

B(t+1) ist also B(t)+10000*0,92^t*0,08

Ist 10000*0,92^t*0,08 das Gleiche wie 0,08*(10000-B(t))?

B(t)=10000*(1-0,92^t)

0,08*(10000-B(t))=0,08*(10000-(10000*(1-0,92^t)))=
0,08*(10000-(10000-10000*0,92^t))=0,08*(10000-10000+10000*0,92^t)=
0,08*10000*0,92^t=10000*0,92^t*0,08

Die Formeln stimmen also überein.

Herzliche Grüße,

Willy

Hier handelt es nicht um beschränktes Wachstum!

Der Rest der Erklärung sieht ok aus (hab’s aber nur überflogen.

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@Zwieferl

Sorry für meinen falschen Kommentar. Ich habe den Text des Fragestellers "zu schnell" gelesen.

Es handelt sich doch um eine Form des beschränkten Wachstums (aber nicht das logistische Wachstums, das (für mich) die Bezeichnung für "beschränktes Wachstums" darstellt.

Anders gesagt: ich assoziiere mit "beschränktem Wachstum" zB Rosen auf dem See - die Größe des Sees ist vorgegeben und damit fix, dadurch ist das Wachstums der Seerosen beschränkt.

Ich würde die Antwort kurz so formulieren:

Die Formel gibt an, wieviel gesunde Bäume ein Jahr später vorhanden sind.

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B(t) ist eine Funktion, die B in Abhängigkeit von t beschreibt. Zu einem Zeitpunkt t0 hat man ein B(t0). Ein Jahr später ein B(t1) = B(t0 + 1).

Die Lehrerin hat das t0 offenbar auch einfach "t" genannt - kann man machen, verwirrt aber.

also ist B(t+1) nach einem Jahr?

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@Kennstnicht

Genau. "t" ist die Zeitachse und eine Zeiteinheit darauf entspricht einem Jahr.

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B(t) beschreibt die Anzahl der befallenen Bäumen zum Zeitpunkt t.

Zum ersten Zeitpunkt t=1 beträgt diese B(1) = 0,08*(10000-0), denn zu Beginn ist kein Baum befallen und nach einem Zeitfenster der Länge 1 sind eben 8 % befallen, also diese 800.

Nun möchten wir rekursiv bestimmen, was B zum Zeitpunkt t+1 in Abhängigkeit von B zum Zeitpunkt t ist. Also wie viele Bäume zum Zeitpunkt t+1 befallen sind.

Naja wenn ein Baum einmal befallen ist, kriegt er die Mistviecher nie wieder los. Also zählen wir schon mal alle bislang befallenen Bäume, das sind B(t). Dazu kommen jetzt von den übrigen gesunden Bäumen (das sind offenbar 10000 - B(t)) wieder 8 %, die neu befallen werden. Also 0,08*(10000-B(t)) und somit erhältst du insgesamt deine Rekursionsformel von oben.

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