Was bringt mir die Ermittlung einer gebaren Lücke?

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2 Antworten

tja, im täglichen Leben brauchst du die hebbare Lücke wohl eher nicht, aber in Mathe sollst du gucken, ob die Funktion ab der Stelle doch einen Funktionswert hat.

Nach dem Beispile von Melvissimo kannst du (x+1)/(x²-1) schreiben als

(x+1)/(x+1)(x-1) dann kürzen → 1/(x-1) und jetzt kannst du -1 einsetzen

also f(-1) = -1/2 und hast den Funktionswert für x=-1 obwohl es vorher ne Lücke war.

Mal unmathematisch ausgedrückt.

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Die Pol Stellen zu ermitteln leitet mir ein, da man damit ja die Definitionslücke berechnet oder?

Eigentlich macht man das genau andersherum. Man bestimmt die Definitionslücken und untersucht dann bei jeder, ob es sich um eine Polstelle handelt oder nicht.

Beispiel 1: f(x) = 1 / x. Man sieht sofort, dass x = 0 eine Definitionslücke ist, da man nicht durch 0 teilen darf. Bei genauerer Untersuchung fällt einem auf, dass es sich um eine Polstelle (mit Vorzeichenwechsel) handelt.

Beispiel 2: f(x) = (x + 1) / (x² - 1).

Es ist unmittelbar klar, dass sowohl x = 1 als auch x = -1 Definitionslücken sein müssen, weil man nicht durch 0 teilen darf. Aber x = -1 ist gar keine Polstelle. Die Funktionswerte um den Wert x = -1 herum werden weder unendlich groß, noch unendlich klein. Stattdessen scheinen sie sich dem Wert -1/2 anzunähern. Diese Art von Definitionslücke nennt man auch (stetig) hebbare Lücke. Man kann sie in diesem Fall "stopfen", indem man einfach f(-1) = -1/2 definiert.

x = 1 hingegen ist wieder eine Polstelle (mit Vorzeichenwechsel).

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