was bringt die pq formel und was bringt die quadratische ergänzung? wie findet man die nullstellen?

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Die pq-Formel liefert die Nullstellen einer quadratischen Funktion.

Die quadratische Ergänzung (qE) ist das, was eigentlich hinter der pq-Formel steckt.
In der pq-Formel ist die qE bereits verarbeitet, sodass man sich nicht mehr darum zu kümmern braucht, wenn man nur am Ergebnis interessiert ist.

Und so hängen qE und pq-Formel zusammen:

Gegeben sei die quadratische Funktion f ( x ) = x ² + p x + q
Aufgabe: Bestimme die Nullstellen von f ( x )

Also:

x ² + p x + q = 0

<=> x ² + p x = - q

[Jetzt kommt die qE ins Spiel. Man möchte den Term auf der linken Seite so ergänzen, dass man ihn mit Hilfe der ersten binomischen Formel zusammenfassen kann. Diese lautet:
x ² + 2 y x + y ² = ( x + y ) ²
Man erkennt: Im linearen Glied 2 y x ist das y enthalten, dessen Quadrat man zu
x ² + 2 y x addieren muss, um den gewünschten Term x ² + 2 y x + y ² zu erhalten. Dieses Quadrat, also y ² , ist die "quadratische Ergänzung" des Terms x ² + 2 y x .
Zur Berechnung des y muss man offenbar das lineare Glied 2 y x durch 2 und durch die Wurzel aus dem quadratischen Glied ( also durch x ) dividieren: y = 2 y x / 2 x
Fasst man nun in unserer Gleichung
x ² + p x = - q
das p x als 2 y x auf, so erhält man den Term, der dem y entspricht, indem man p x durch 2 x dividiert. Die qE ist dann das Quadrat dieser Berechnung. Also:
qE = ( p x / 2 x ) ² = ( p / 2 ) ²
Dieser Term wird nun auf beiden Seiten des Gleichheitszeichens addiert:]

<=> x ² + p x + ( p / 2 ) ² = ( p / 2 ) ² - q

[Aufgrund der Berechnungsweise der quadratischen Ergänzung ist nun auf der linken Seite des Gleichheitszeichens ein Term entstanden, der mit Hilfe der ersten binomischen Formel zusammengefasst werden kann:]

<=> ( x + ( p / 2 ) ) ² = ( p / 2 ) ² - q

[Zieht man nun die Wurzel:]

<=> x + ( p / 2 ) = +/- W ( ( p / 2 ) ² - q )

so ergeben sich die beiden Lösungen (Nullstellen):

x1,2 = - ( p / 2 ) +/- W ( ( p / 2 ) ² - q )

Diese Formel aber ist als "pq-Formel" bekannt.

Für mich die beste Antwort! Sie zeigt genau auf, dass die pq-Formel einem nur die quadratische Ergänzung ersparen soll.

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Nullstellen mit pq und Scheitelpunktsform mit quadr. Ergänzung

bei der quadr. ergänzung kommen aber auch 2 werte raus ?

x² + 13x - 22 = 0 | +22

x² + 13x = 22 | 13:2=6,5; 6,5²=42,25; +42,25

x² + 13x + 42,25 = 64,25 | binomische

(x + 6,5)² = 64,25 | wurzel

x + 6,5 = 8,01576 | -6,5

(1)x = 1,5156

x + 6,5 = - 8,01576 | -6,5

(2)x = -14,5156

das wäre eine quadratische ergänzung, was sind dabei die beiden werte ? ( 1x und 2x )

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@Jiroux1995

ja, x1 und x2 das wären Nullstellen; aber das kannst du auch mit der pq machen

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@Ellejolka

also ist eig beides dasselbe ? und was ist besser wann einzusetzen ?

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liest du die Antworten? quadr. Ergänzung für Scheitelpunktsform

pq für Nullstellen

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