Was bedeutet ,,linear unabhängig`` in Mathe?

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2 Antworten

Hallo,

bei Vektoren bedeutet linear unabhängig, daß Du den einen nicht durch den anderen ausdrücken kannst.

Die Vektoren (2/1) und (4/2) etwa sind linear abhängig, weil (4/2) dasselbe ist wie 2*(2/1). Du kannst also den zweiten Vektor als Verdoppelung des ersten darstellen. Dagegen sind die Vektoren (2/1) und (4/3) linear unabhängig, weil es keinen Faktor gibt, der aus dem Vektor (2/1) den Vektor (4/3) machen könnte. Die x-Komponente müßtest Du mit 2 multiplizieren, die y-Komponente dagegen mit 3 - das geht nicht, denn der Faktor muß für beide gleich sein.

Hast Du es mit drei Vektoren zu tun, mußt Du auch überprüfen, ob sich der dritte vielleicht durch eine Kombination der beiden anderen darstellen läßt. Dabei gilt allgemein: Hat ein Vektor n Komponenten, können höchstens n Vektoren linear unabhängig sein, der (n+1). Vektor wäre auf jeden Fall von den anderen linear abhängig.

Zwei Vektoren in der Ebene, die nicht parallel sind, und nur zwei Komponenten besitzen, sind linear unabhängig. Ein dritter Vektor in dieser Ebene ließe sich immer als Kombination der beiden anderen darstellen. Erst ein Vektor, der eine dritte Dimension besitzt, kann von diesen beiden linear unabhängig sein, wenn er aus der Ebene heraus in den Raum ragt. Ein vierter Vektor müßte dann schon in die vierte Dimension vordringen, um nicht von den drei anderen abhängig zu sein usw.

Ob mehrdimensionale Vektoren linear unabhängig sind, kannst Du mit einem Gleichungssystem überprüfen.

(2/3/5), (-1/4/4) und (1/0/2) sind nur dann linear unabhängig, wenn das Gleichungssystem x*(2/3/5)+y*(-1/4/4)+z*(1/0/2)=0, also
2x-y+z=0
3x+4y=0
5x+4y+2z=0

keine Lösung besitzt, bzw. nur die Triviallösung x=y=z=0, was hier der Fall ist.

Somit sind diese drei Vektoren linear unabhängig, sie spannen einen dreidimensionalen Raum auf.

Herzliche Grüße,

Willy

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Vektoren sind linear unabhängig, wenn es keine nicht-triviale Linearkombination der Vektoren gibt, die gleich Null ist. Im Klartext heißt das, dass Vektoren (z.B. v1, v2, v3) linear unabhängig sind, wenn keine a,b,c (ungleich 0) in R existieren, sodass a * v1 + b * v2 = c * v3 ist (und natürlich auch für alle anderen Kombinationen von den drei Vektoren)

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