Was bedeutet Exponentielles Wachstum ist global gesehen immer stärker als das von Potenzfunktionen?

7 Antworten



War das gemeint?

Oder vielleicht:



als Mann vom Fach , müsstest du es zeigen können : was ich mir zusammengereimt habe :

a^x > x^a , sobald x > a 

ist meine Vermutung , die ich nur annäherungsweise "beweisen" kann

Wenn x nun (a+1) ist

gilt

a^(a+1) >? (a+1)^a 

das wäre ja

a^a * a > a^a + ............eine summe ,die kleiner sein muß als die Differenz zwischen a^(a+1) - a^a * a

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@Halbrecht

Ich bin kein Mann vom Fach, sondern ein miserabler Student ….

Ich checke aber dennoch Deine Überlegung, das bringt mich definitiv voran, wenn ich das mal durchexerziere.

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Dass eine Exponentialfunktion irgendwann immer schneller wächst als eine Potenzfunktion.

Es reicht eigentlich zu zeigen, dass die Ableitung der Funktionen irgendwann für die Exponentialfunktion größer wird.

Also f(x) = x^a g(x)=b^x

f'(x)=a*x^(a-1) = a*x^c g'(x)=ln(b)*b^x=k*b^x

und jetzt suchen wir alle x für welche die Ungleichung k*b^x > a*x^c erfüllt ist.

Dafür dividerien wir durch k und x^c

b^x/x^c > a/k

x*ln(b)-c*ln(x) > ln(a/k)

1) x*a-b*ln(x) > c

a, b und c sind Konstanten.

Jetzt betrachten wir noch folgende Ungleichung:

2) x > ln(x)

Die Ableitung dieser Ungleichung führt jetzt auf 1 > 1/x Somit sehen wir, dass diese ungleichung irgendwann erfüllt sein muss weil die lineare Funktion ab x > 1 stärker wächst als der Logarithmus. Weiters gilt im Interval (x,1] ln(x) <= 0 und damit ist in diesem Intervall x größer als ln(x) und weil ab hier das wachstum größer ist und beides stetige Funktionen sind gilt daraus, dass diese Ungleichung für alle x > 0 erfüllt ist.

Aus der Ungleichung 2 können wir entnehmen, dass es ein x gibt ab welchem die lineare Funktion stärker wächst als der Logarithmus, das bedeutet, dass auch irgendwann die lineare Funktion immer größer als der Logarithmus sein wird. Aus dieser Folgerung ergibt sich, dass es ein x gibt ab welchem für alle größeren x die Ungleichung 1 erfüllt ist und das zeigt jetzt, dass es ein x gibt ab welchem jede Exponentialfunktion schneller wächst als eine Potenzfunktion.

danke !

als Mann vom Fach , müsstest du es zeigen können : was ich mir zusammengereimt habe :

a^x > x^a , sobald x > a 

ist meine Vermutung , die ich nur annäherungsweise "beweisen" kann

Wenn x nun (a+1) ist

gilt

a^(a+1) >? (a+1)^a 

das wäre ja

a^a * a > a^a + ............eine summe ,die kleiner sein muß als die Differenz zwischen a^(a+1) - a^a * a

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@Halbrecht

Mach den Logarithmus drauf:

ln(a)*x > a*ln(x)

Nehmrn wir mal x und a >1 an

x/ln(x) > a/ln(a) also

Da diese Funktion streng monoton steigend ist für x > 1 gilt für alle x und a größer 1 dass diese Ungleichung erfüllt ist wenn x > a gilt.

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Anhand eines Beispiels:

f(x) = x^2
f(x) = 2^x

Bei der Potenzfunktion, wird es immer steigen, aber in absehbaren Schritten:
1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100

Bei den Exponentiellenwachstum, ist es zwar am Anfang nicht so extrem steigend, aber dann plötzlich steigen die Zahlen EXTREMST
2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024

Anderes Beispiel:
f(x) = x^2
f(x) = 1.0001^x

Global gesehen, wird die Exponentialfunktion, die Potenzfunktion immer einholen, egal was passiert, es ist halt eine Frage der Zeit.

a^x > x^a , sobald x > a 

ist meine Vermutung , die ich nur annäherungsweise "beweisen" kann

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@Halbrecht

2^3 > 3^2

hier ist doch x > a also 3 > 2
und es geht nicht

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@Katjo187

aber 2*2*2 = 8 ist doch nicht größer als 3*3 = 9 ...........oder ist ein neues Zeitalter angebrochen ? :))

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Auch eine Funktion wie 1,0001 ^ x wächst bei sehr großen X irgendwann schneller als x ^ 100000

a^x wird, wenn es gegen unendlich geht, immer stärker wachsen als z.b. a^1milliarde

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