Was bedeutet der Homomorphiesatz?

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1 Antwort

V / kern (f) ist Menge der Nebenklassen von kern f, d. h. die Menge a + kern f wobei a durch ganz V läuft.

Dabei ist a + kern f definiert als

a + kern f = { a + b| b Element von kern f}

Also

V / kern(f) = { {a + b | b Element von kern f} | a Element von V}

Das ist also eine Menge von Mengen.

Das Interessante an so einer Nebenklasse

a + kern f

ist, dass alle Elemente einer Nebenklasse genau auf ein und dasselbe Bildelement abgebildet werden und umgekehrt die Nebenklasse alle Elemente enthält, die auf ein dieses Bildelement abgebildet werden. Ich betrachte also in der Urbildmenge V nicht alle Elemente einzeln, sondern teile V auf in eine Menge von Teilmengen, deren Elemente jeweils dasselbe BIld haben.

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Wie kommst du darauf, dass die Verknüpfung bei der Nebenklasse + ist und nicht *: Ich verstehe leider auch nicht, wozu der Kern da wichtig ist.

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@Richman123

Ich bin erstmal davon ausgegangen, dass du wie üblich mit V einen Vektorraum meinst. Im Vektorraum ist der Kern ein Untervektorraum. Eine innere Multiplikation ist im Vektorraum gar nicht definiert, sondern nur die äußere, nämlich die Skalarmultiplikation. Die kann aber nicht gemeint sein, da für einen Untervektorraum immer aU = U gilt, denn a wäre ja ein Körperelement.

Interessant ist die innere Verknüpfung - und das ist eben die Addition.

Der Kern ist daher interessant, weil es den Funktionswert nicht verändert, wenn man zu einen Element ein Element aus dem Kern addiert:

Sei x gegeben, und n aus kern(f). Dann ist

f(x+n) = f(x) + f(n) = f(x) + 0 = f(x).

Nun hast du also so eine Nebenklasse a + kern f. Nimm mal zwei Elemente aus dieser Nebenklasse, x und y. Die lassen sich dann jeweils so schreiben:

x = a + n

y = a + n'

dann gilt

f(x) = f(a+n) = f(a) + f(n) = f(a) + 0 = f(a) + f(n') = f(a+n') = f(y).

D. h. jedes Element einer Nebenklasse wird auf dasselbe Element des Bildes abgebildet. Habe ich nun ein weiteres Element z, das ebenfalls auf denselben Wert f(a) abgebildet wird, so habe ich

f(z) = f(a) <=>

0 = f(z) - f(a) = f(z-a)

Also ist z-a im Kern von f und damit

z = a + (z - a )

wieder in der Nebenklasse a + kern f.

Du kannst also jede dieser Nebenklasse mit genau einem Element aus dem Bild von f identifizieren - und genau das sagt der Homomorphiesatz.

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@FataMorgana2010

Das leuchtet ein, dass die auf dasselbe Bild abgebildet werden müssen, aber das musst doch so sein weil a ja fest ist. Ich verstehe noch nicht, was diese Nebenklassenunterteilung überhaupt soll. Also das Konzept des Homomorphiesatz hab ich glaub ich jetzt raus. Man Elemente in Nebenklassen ein und erreicht somit eine Bijektion von den Nebenklassen auf das Bild von f, da man jetzt nur immer einen Repräsentanten betrachtet einer Gruppe von Elementen, die auf dasselbe Element abgebildet werden. Aber die Nebenklassen sind mir da nicht klar, auch nicht, wieso der Kern erforderlich ist. Und wie ist das bei Gruppenhomomorphismen, wenn ich zB die multiplikativen Nebenklassen betrachte.

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@Richman123

Was meinst du damit, dass a fest ist? Du lässt a über ganz V laufen, das bedeutet aber nicht, dass du für jedes a auch eine andere Nebenklasse bekommst.

Es kann durchaus a+kern f = b + kern f gelten, wenn a ungleich b ist. Durch die Nebenklassenbildung erzeugst du eine Partition von V, also eine Aufteilung der Grundmenge in disjunkte Teilmengen. Für jede Darstellung dieser Teilmengen kannst du ein Element a wählen, auch ein anderes, wenn du magst, a ist nur ein Repräsentant. Alle andere Elemente von V, die in derselben Nebenklasse liegen, sind genausogute Repräsentanten.

Das interessante ist, dass man dann weiß, dass a und b das gleiche Bild haben, weil sie in einer Nebenklasse liegen und sich eben nur um ein Element aus dem Kern unterscheiden.

Mal zwei Extreme: Angenommen, Kern f = V, d. h. alle Elemente von V werden auf das neutrale Element abgebildet. Für jedes Element a von V ist dann

a + kern f = a + V = {a + x | x Element von V} = V, d. h. für alle a bekomme ich dieselbe Menge V und es ist

V / kern f = { V }, V / kern f enthält genau ein Element, nämlich V (und ist nicht etwa gleich V).

D. h. ich habe in diesem Fall

V / kern f = {V } ist isomorph zu Bild f = { 0 }.

Andersherum: Sei Kern f = {0}, weil ich eine injektive Abbildung habe, dann ist

a + Kern f = {a + 0} = {a}

und

V / kern f = {{a} | a Element aus V} - das ist also genau die Menge der einelementigen Teilmengen von V, die ist isomorph zu V (was dann wiederum isomorph zu BIld f sein muss).

Und dazwischen gibt es dann alles mögliche.

Und bei Gruppen ersetzt du das Plus durch ein Mal. Oder durch ein beliebiges anderes Verknüpfungszeichen.

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@FataMorgana2010

Hast du vielleicht ein Beispiel mit Zahlen? Die Unterteilung verwirrt mich nach wie vor. Wenn ich eine Nebenklasse a+kernf habe, dann weiß ich ja, dass wenn x eine Element im kern ist, dass gilt: f(a)+f(x)=f(a)+0 , und bei Homomorphismen gilt ja auch: f(a)+f(x)=f(a+x) Für a gehe ich ja jedes Element aus V durch, aber das ist doch genau so, wie wenn ich das Bild von Elementen aus V berechne. Mir ist nicht klar, was mir diese Addition mit der Null bringen soll. Nehmen wir mal Z(ganze Zahlen), die ordnet man ja in Restklassen, das scheint mir sinnvoll. Aber wozu ist der kern da? :/

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@Richman123

Für a gehe ich ja jedes Element aus V durch, aber das ist doch genau so, wie wenn ich das Bild von Elementen aus V berechne.

NEIN. Eben nicht. Du berechnest das gar nicht. Du konstruierst ganz abstrakt die Restklassen für jedes a - und der Funktionswert ist dann für alle andere Elemente in der Restklasse a + kern (f) gleich. Und das tut er genau dann, wenn die Restklasse a +kern(f) ist. Wenn ich einen anderen UVR nehme, der nicht im Kern enthalten ist, dann bekomme ich eine andere Zerlegung in Restklassen. Und bei der ist eben nicht der Funktionswert innerhalb einer Restklasse überall gleich. Das geht nur, wenn du den Kern nimmst., um diese Restklassen zu bilden.

Wie willst du den sonst den Vektorraum/die Gruppe so in Restklassen zerlegen, dass überall das gleiche herauskommt?

Kennst du das allgemeine Konzept von Restklassen nach einem UVR bzw. einer Untergruppe? Oder kennst du die Restklassen nur vom modulo-Rechnen auf Z? Es gibt tausenderlei Möglichkeiten, eine Menge in Restklassen zu zerlegen, nicht nur eine!

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@FataMorgana2010

Vielleicht sollte ich etwas exakter sein - im Sprachgebrauch bringt man die beiden Begriffe oft zusammen, obwohl sie streng genommen nicht das gleich meinen. Gemeint sind hier die NEBENklassen - Restklasse heißen sie im speziellen Fall. Sagt dir der Begriff was? Oder kennst du denn nicht?

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@FataMorgana2010

Zu den Nebenklassen weiß ich einfach nur das mit der Relation a~b :<=> a^-1 * b Element von H(Untergruppe).

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@Richman123

Sei a+n eine Nebenklasse, wobei n im kern f ist. Es ist also egal, welches Element man aus dem Kern nimmt. Es kommt auf das a an, oder? Denn der Funktionswert von a bestimmt das Bild aller Elemente dieser Nebenklasse. Also es läuft darauf hinaus, dass man alle Elemente mit gleichem Bild in ''Boxen'' steckt.

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@Richman123

Ja, es läuft darauf hinaus, dass man alle Elemente mit gleichem Bild in eine Box steckt, nämlich eine Nebenklasse. Und jetzt wähle ich aus dieser Box ein beliebiges Element heraus - irgendeins! - und nenne es a. Dann kann ich diese Nebenklasse als

a + kern(f) = {a + n | n Element Kern f} schreiben. Ich könnte auch jedes andere Element der Nebenklasse nehmen, dann kommt dasselbe heraus. Und nicht a+n ist die Nebenklasse, sondern a + kern(f)

D. h. um diese Zerlegung in Boxen zu bekommen, kann ich einfach die Nebenklassen bezüglich des Kerns bilden.

Vielleicht doch ein Beispiel. Nimme den R³.

f sei die Abbildung f(x, y, z) = f(0, y, 0). D. h. ein Vektor wird sozusagen auf seine "Höhe" reduziert, er wird abgebildet auf einen in y-Richtung verlaufenden (in der normalen Bezeichnung: nach oben oder unten) Vektor, die x- und z-Komponente wird sozusagen ausgeblendet.

Der Kern dieser Abbildung ist die Ebene (x,0,z), also die horizontale Ebene durch den Ursprung. Die Nebenklassen des Kerns sind alle zu dieser Ebene parallelen Ebenen, der ganze R³ wird also wie ein großer Tortenboden in horizontale Scheiben geteilt.

Wie kann ich jede dieser Tortenbodenschichten als Menge nun beschreiben? Nun, offenbar so, indem ich für jede Schicht zum Kern - der Ebene (x,0,z) - einen beliebigen Vektor aus der jeweiligen Schicht dazu addiere. Damit erhalte ich genauso viele Schichten (=Nebenklassen) wie mögliche Funktionswerte.

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@Richman123

Ja, das ist richtig - aber hast du auch irgendeine Vorstellung, was das mit dem Problem zu tun hat? Gebildet wird ja die Faktorgruppe bzw. beim Vektorraum der Faktorraum, sagt dir das was?

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