Warum zur Hölle ist (-0,5)! = sqrt(pi)?!

2 Antworten

Fakultät geht streng genommen nur bei ganzen Zahlen. eigentlich auch nur bei positiven. Also entweder meint er die Gamma-Funktion oder mit "!=" ein Ungleich.

wobei Gamma von 0,5 zufälligerweise sowohl die verallgemeinerte Fakultät von -0,5 als auch die Wurzel aus Pi ist

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Haaa -> Du hast 1 von über 200 Funktionen gefunden, die nicht nur für ganze, sondern auch für reelle Zahlen definiert sind, wenn man richtige Algorithmen verwendet:
http://www.lamprechts.de/gerd/php/RechnerMitUmkehrfunktion.php

Die meisten können sogar mit komplexen Zahlen berechnet werden!!
(-0.5+0.5i)! = 0.818163999541747394...-0.76331382871398261667029678776...i

Angefangen hat alles mit der Stirlingschen Näherungsformel. (siehe Wikipedia)
Dann hat man herausgefunden, dass die Funktion eine um 1 verschobene Gammafunktion ist: x! = Gamma(x+1)

Die nächste Stufe sind hypergeometrische Funktionen

Und dann kommen AppellF1(... doppelt unendliche Summen)

Zugabe Beweis 1:
(-0.5)!=Integral log(1/t)^(-1/2) dt,t=0...1
= -sqrt(pi)*erf(sqrt(log(1/t))) |0..1
= 0 - (-sqrt(pi))=sqrt(pi)
Natürlich gibt es noch andere Integrale bei Bedarf!

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Zugabe 2:
Wie man im Bild vom LINK sieht, kann man Argumente mit .5 besonders leicht berechnen, da: (-x-1/2)! = sqrt(pi) * 4^x * x!/[(2x)! cos(pi * x)]

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Hier nun meine Frage:

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I) [-4,4] --> [0,5] , f(x) = |3-s|x||                                     surjektiv

II) [1,unendlich[ --> [0,unendlich[ , f(x) = ln x            bijektiv

III) [-pi/4, pi/4] --> [-1,1] , f(x) = (cos x)² - (sin x)²       weder, noch

IIII) ]-1,1[ --> [-1,1] , f(x) = x³                                          injektiv

 

Ich würde es bevorzugen, wenn der pubertierende Moderator seine Machtgelüste mit anderen Tätigkeiten stillen würde als damit, meine Fragen zu löschen. Falls es sich dabei um einen Systemfehler handelte, bitte den letzten Satz vergessen.

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