Warum ziehen Protonen und Elektronen sich gegenseitig an?

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Das ist einer dieser Effekte in der Natur, die man so hinnehmen muss. Wir wissen nicht warum sie sich anziehen, aber wir müssen annehmen, dass sie sich anziehen. Das macht die sehr ausgereiften Modelle in der Elektritizitätslehre etc. plausibel und beschreibt die Vorgänge exakt! Und das ist der springende Punkt.. wir müssen die Vorgänge exakt beschreiben können

Elektromagnetische Wechselwirkung, genauer gesagt: elektrostatische Wechselwirkung, wie sie auch im Coulombschen Gesetz beschrieben wird. Diese WW kann man auch makroskopisch beobachten bei unterschiedlich geladenen Partikeln.

Sie ist verwandt mit der magnetostatischen Wechselwirkung, die zwischen zwei unterschiedlichen Polen von Magneten wirkt. Elektrische und magnetische Felder sind zwar nicht gleich, aber doch in gewisser Weise "analog". Daher auch der Begriff "Elektromagnetismus".

Diese "Grundkraft" ist einer der 4 Grundkräfte, die anderen sind schwache WW, starke WW und die Gravitation. Die schwache WW wirkt beim Betazerfall (und anderen Umwandlungsprozessen), die starke WW wirkt beim Zusammenhalt der Nukleonen (Protonen, Neutronen). 

Aber wieso wirkt sie? Du kannst sagen ein Strom liefert Energie, weil Elektronen sich bewegen und somit auf eine Art kinetische Energie umgewandelt wird. Gravitation wirkt, weil Teilchen vielleicht Gravitonen austauschen. Warum wirkt die elektromagnetische Wechselwirkung?

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Wie schon in anderen Antworten erwähnt, lässt sich diese Frage leider nicht
beantworten (zumindest mit dem momentanen Stand der Wissenschaft). Die elektrostatische Wechselwirkung gehört zu den Grundkräften. Man weiß nur, dass es sie gibt, und dass sie (gemäß Quantenfeldtheorie) durch Photonen vermittelt wird (Austauschteilchen). 

Die Frage nach dem "warum" lässt sich allzu oft nicht beantworten. Damit muss man sich leider abfinden. 

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