Warum Wurzeln aus negativen Zahlen ziehen?

11 Antworten

Dass man direkt die Wurzel aus einer negativen Zahl zieht, kommt selten vor, ist mir jetzt auch kein Fall für bekannt.

Aber durch Hinzunahme der  Wurzeln negativer Zahlen wird der Zahlenbereich der reellen Zahlen in einer Weise erweitert, die viele Probleme einfacher beschreiben und berechnen lässt. Das ist der eigentliche Grund.

Die Mathematiker führten die Wurzel aus -1 ein, weil mit dem dadurch entstehenden erweiterten Zahlenbereich (den komplexen Zahlen) auf einmal alle quadratischen Gleichungen eine Lösung haben.

(Genauer gesagt haben sogar alle Polynome mindestens eine Nullstelle, also gilt das sogar für Gleichungen mit höheren Exponenten als nur quadratisch)

Das ist ein ziemlicher Gewinn, weil man jetzt gar nicht mehr auf die genaue Form einer Gleichung achten muss, um zu wissen, dass sie lösbar ist - dadurch lassen sich viele Zusammenhänge leichter auffinden und beweisen.

In der Elektrotechnik benutzt man komplexe Zahlen, um zu beschreiben, wie Schaltungen sich verhalten, wenn man Wechselstrom anlegt, also sinusförmige Spannungen. Durch die Verwendung der komplexen Zahlen vereinfachen sich die Rechnungen stark.

Das hängt damit zusammen, dass die komplexen Zahlen zweidimensional sind, man kann mit ihnen eine Amplitude und eine Phasenlage gleichzeitig beschreiben und genau das braucht man, um das Verhalten von Wechselspannungen zu beschreiben.


Meine Frage ist einfach nur, was das bringt.

Um die Lösung zu erhalten.

Scheinbar braucht man das irgendwie für Elektrotechnik aber wofür genau?

Die Wurzel aus negativen Zahlen ziehen? Da fällt mir so spontan jetzt nichts ein. Allerdings ist die Wurzel aus (-1) = j. Das ist der Vorfaktor um den imaginären Teil einer komplexen Zahl zu beschreiben. Das wird in der Elektrotechnik für vieles verwendet:

komplexe Drehzeiger

Phasenverschiebungen

Laplace und Fouriertransformation

usw.

In welchen Bereich der Physik muss man Wurzeln aus negativen Zahlen ziehen uns wieso

Naja z.B. in der Schwingungstechnik, Modalanalyse, spezielle Relativitätstheorie.

Meist ist es so dass diese Erweiterung des Zahlenraums rechnerische Vorteile bringt. Früher wurde das mit Quaternionen gemacht.

Auch lassen sich Phasenverschiebungen durch induktive und kapazitive Bauelemente damit wunderbar und einfach beschreiben. Bei vielen Berechnungen kommt man prinzipiell nichtmal drum herum.

Ich kann dir auch nur sagen, was ich bis jetzt im Studium erfahren habe, aber es gibt sicherlich noch zig andere Anwendungsmöglichkeiten.

Nur kurz, falls dir das noch nicht bekannt ist:
(-1)^(1/2) := i
z = x + i y -> eine Komplexe Zahl, x & y sind reell

Komplexe Zahlen werden z.B. benötigt um manche Differenzialgleichungen zu lösen. Häufig enthalten dabei Zwischenschritte der Berechnung komplexe Zahlen, das Endergebnis ist aber wieder reell. Von daher braucht man sie nur zur "Überbrückung".

Differenzialgleichungen sind Gleichungen, welche auch Ableitungen der gesuchten Funktion enthalten. Durch solche Gleichungen können viele physikalische/chemische Vorgänge beschrieben werden, die in der Natur beobachtet werden. Beispiele findest du hier:

https://de.wikipedia.org/wiki/Differentialgleichung#Auftreten_und_Anwendungen

Mit der Lösung solcher Gleichungen können dann z.B. Voraussagen gemacht oder weitere Dinge berechnet werden, welche auf den jeweiligen Prozessen basieren.

"(-1)^(1/2) := i"

Auch wenn das an mathematischen Hyperkorrektheit grenzt, möchte ich dennoch folgendes erwähnen:

i als die Wurzel aus -1 zu definieren, ist kritisch.

Grundsätzlich gilt:

i² = -1

Wenn man deiner Definition folgen würde, würde man an einige Ungereimtheiten stoßen.

Ist zwar reiner Formalismus, aber definitiv erwähnenswert.

LG Willibergi 

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@Willibergi

Stimmt, danke für die Korrektur!

Hab das wohl verwechselt, da von Wurzeln negativer Zahlen die Rede war...

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