Warum umständlich über den Differentialquotienten herleiten?

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4 Antworten

Und woher willst du die Tangentensteigung nehmen?

nobody1808 14.03.2014, 08:28

Könnte ich die nicht irgendwie berechnen, wenn ich einen Punkt habe? Das bedeutet also, dass man die Sekante wegen des zweiten Punktes braucht??

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Walto 14.03.2014, 08:41
@nobody1808

Die erste Methode zur Berechnung der Steigung einer Funktion ging so: man hatte den ersten Punkt P0 gegeben, in dem die Steigung zu ermitteln war. Dann nahm man einen weiteren Punkt P1 in der näheren Umgebung von P0. Aus P0 und P1 konnte man nun die Sekante bestimmen; die Steigung der Sekante ist eine Näherung an die Steigung der Funktion.

Später haben die Wissenschaftler Newton und Leipniz Lösungen gefunden, um die Steigung exakt zu berechnen. Das war der Differentialquotient.

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mgausmann 14.03.2014, 10:08
@Walto

klar, kannst du so machen, doch dann erhälst du eben auch nur die Steigung an der Stelle. Mit dem Differentialquotienten erhälst du eine Funktion, die dir die Steigung in Abhängigkeit von x angibt... also für alle Punkte und nicht nur für den Punkt p0 bzw. p1

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isbowhten 14.03.2014, 10:29
@mgausmann

auch mit dem diffrentialquotienten erhält man nur die steigung an der stelle x0. nur geht das eben für jedes x0, weshalb man eine funktion bekommt. genauso geht das durch Walto beschriebene für jeden punkt P0, also erhält auch er eine funktion.

das was er macht, und das was der differentialquotient macht, ist dasselbe!

was die mathematiker gemacht haben ist zu zeigen, dass dabei sogar wirklich die tangentensteigung rauskommt. das kann man mit der taylorentwicklung zeigen.

es gibt übrigens mehrere "differentialquotienten" mit unterschiedlichen numerischen eigenschaften. zB ist der "zentrale differenzenquotient" eine bessere näherung an die tangentensteigung, als der normale differenzenquotient.

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Volens 14.03.2014, 11:13
@isbowhten

Wie denn das?
Steigung ist Steigung.
Und Steigungen sind Zahlen, die man (auf welche Weise auch immer)
beliebig genau berechnen kann, falls sie Dezimalen haben.

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isbowhten 15.03.2014, 14:38
@Volens

der unterschied liegt in "differenzen-" statt "differential-"-quotient

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Die Tangentengleichung ist ebenso wie die Scheitelpunktberechnung per quadratischer Ergänzung eine Technik, die für den beginnenden Auftritt von Parabeln ausreicht.

Die Differentiation hingegen ist zur Diskussion von Funktionen aller möglichen Arten sehr viel umfassender und wirft die Steigung einer Tangente in irgendeinem Punkt als Nebenergebnis ab.

Die Tangentensteigung ist definiert über den Differentalquotienten. Im allgemeinen Fall gibt es also gar keine andere Möglichkeit, die Tangentensteigung zu berechnen. Alle anderen Berechnungsweisen sind Abkürzungen, die in Spezialfällen anwendbar sind.

das tut man auch - wenn man die Ableitungsregeln gelernt hat. Vorher sollenm die schüler erstmal die grundsätzliche Herleitung des Problems angefangen bei Leibniz und Newton durcharbeiten, den Grenzwert der Sekantensteigung bilden und so weiter..... Im Computerzeitalter in der Tat ein bisschen viel vergebliche Mühe. Ähnlich wie bei der Primfaktorzerlegung oder beim Heron-Verfahren, das sind alles verstaubte Relikte aus der Zeit, als es keine Taschenrechner gab, und das müsste alles schon lange weg.

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