Warum sind Potenzfunktionen mit natürlichen Exponenten definiert und nicht mit ganzen?

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5 Antworten

Potenzfunktionen sind für den gesamten reellen Zahlenbereich (eigentlich sogar für den gesamten komplexen Zahlenbereich) definiert.
Der Exponent kann eine natürliche, ganze, rationale, reelle, imaginäre oder komplexe Zahl sein.
Bei 16^0,5 ist der Exponent auch keine natürliche Zahl, und trotzdem ist diese Potenzfunktion lösbar - das Ergebnis ist nämlich 4.
Ich hoffe, ich konnte dir helfen; wenn du noch Fragen hast, kommentiere einfach.
LG Willibergi

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Bei Potenzfunktionen muss der Exponent keine natürliche Zahl sein, sondern kann jede reelle Zahl annehmen.

 Sind z. B. die Exponenten natürliche Zahlen, hast Du "ganzrationale Funktionen", kommen auch negative Exponenten vor, handelt es sich um "gebrochenrationale Funktionen" (Bsp.: f(x)=x^(-2)=1/x²); hat der Exponent die Form 1/n (n € IN) hast Du eine Wurzelfunktion

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Ich glaube, du meinst die Definition über IR, also alle reellen Zahlen. Ganz einfach, wenn der Exponent negativ ist, gibt es für x=0 keinen Wert. Ich nehme zum Beispiel mal x^-1. Das ist gleich 1/x. Setzt du x=0 ein, erhältst du 1/0. Das Ergebnis ist nicht definiert.

Deswegen gehen uneingeschränkt nur natürliche (positive Zahlen) inklusive der 0, da f(x)=x^0=1 ist.

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Das sind sie durchaus nicht, es sei denn, man wolle sich auf die mit natürlichen Exponenten beschränken, weil man dafür eine besondere Betrachtung machen oder Gesetzmäßigkeit feststellen möchte.
Diese besondere Spezies ist nämlich über den ganzen ℜ (reelle Zahlen) definiert.

Andere Funktionen unterliegen gewissen Einschränkungen. Sie haben Polstellen oder Lücken. Manchmal gilt nur ein Zweig, und es gibt auch sonst allerlei Besonderheiten.

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Potenzfunktionen sind für beliebige reelle Exponenten definiert.

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