Warum sind folgende Summen gleich?

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3 Antworten

Hallo,

Du mußt hier lediglich zeigen, daß 1/(2x*(2x-1))=1/(2x-1)-1/2x ist.

Das geht mit Partialbruchzerlegung:

1/(2x*(2x-1))=A/2x+B/(2x-1)

Auf den Hauptnenner 2x(*2x-1) bringen:

[A*(2x-1)+B*2x]/[2x*(2x-1)]

Zähler ausmultiplizieren:

2Ax-A+2xB

x ausklammern:

(2A+2B)*x-A

Dies vergleichst Du jetzt mit dem ursprünglichen Zähler - der Nenner spielt hier keine Rolle mehr:

0x+1

Dann gilt:

2A+2B=0

-A=1 (im ursprünglichen Zähler steht nur die 1 (ohne x dahinter), sie muß dem alleinstehenden -A zugeordnet werden. Der Faktor vor dem x ist 0, denn im Zähler findest Du kein x.

Dann muß der Faktor im umgeformten Zähler vor dem x, nämlich (2A+2B) gleich Null sein.

Wenn -A=1, dann ist A=-1

Dann ist -2+2B=0, also 2B=2, also B=1

A/2x+B/(2x-1) ist also -1/2x+1((2x-1) oder umgedreht:

1/(2x-1)-1/2x

Genau dies wurde aber in der Aufgabenstellung behauptet.

Du kannst natürlich auch 1/(2x-1)-1/2x auf einen Nenner bringen und kommst auf [2x-(2x-1)]/[(2x*(2x-1)], was 1/[(2x*(2x-1)] ergibt.

Herzliche Grüße,

Willy

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Willy1729 18.02.2016, 16:40

Herzlichen Dank für den Stern.

Willy

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Geh von den beiden Brüchen 1/(2x-1) und 1/(2x) aus. Sie müssen den gleichen Nennern bekommen. Der lautet eben 2x(2x-1).

Damit erweitert sich der Zähler des ersten Bruchs auf 1(2x) und der Zähler des zweiten auf 1(2x-1).

Oder anders:

Im Zähler steht jetzt 2x im Zähler des zweiten Bruchs 2x-1.

Also 2x/2x(2x-1) - 2x-1/2x(2x-1).

Da die Brüche nun die gleichen Nenner haben, können die Zähler voneinander angezogen werden:

2x - (2x-1) = 2x-2x+1 = 1

also 1/(2x(2x-1))

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Mach mal bei der zweiten Summe die Brüche gleichnamig...

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