Warum liefern manche Rechnungen unendlich Nachkommastellen?

10 Antworten

Nein, ein Muster gibt's da nicht, das ist der Clue an irrationalen Zahlen. Sie sind haben unregelmäßig vorkommende (kein Muster aufweisende), nicht-periodische und unendlich viele Nachkommastellen.

Denn: Würdest du eine sich dauerhaft wiederholende Periode erkennen können, wäre die Irrationalität dahin, weil eine periodische Dezimalzahl definitiv rational ist, also als Bruch zweier ganzer Zahlen dargestellt werden kann.

Und dazu, wo die unendlich vielen Nachkommastellen herkommen: Nehmen wir als Beispiel die (rationale) Zahl 1/3. Die Dezimalzahl dazu ist 0,33333..., also mit unendlich vielen Dreien nach dem Komma. Das kommt daher, dass es einfach keine Zahl mit endlichem Nachkommaanteil gibt, die genau dreimal in die Eins reinpasst.

0,3333 ist mit 3*0,3333 = 0,9999 schon verdammt nah dran, aber eben nicht der exakte Wert. Je mehr Dreien du dranhängst, desto mehr nähert sich das Dreifache dem Wert 1 an, wird ihn aber nie erreichen. Dazu müsstest du schon unendlich viele Dreien dranhängen, was dann 0,9999999... ergibt - also genau Eins (ja, 0,99999.... = 1).

Das ist auch bei √2 der Fall - es gibt keine Zahl mit endlich vielen Nachkommastellen, die im Quadrat 2 ergibt. Manche rationale Zahlen sind verdammt nah dran, aber immer etwas kleiner oder größer als 2.

Das kann man mit einem Widerspruchsbeweis auch einfach zeigen, indem man annimmt, √2 wäre als Bruch darstellbar und diese These dann mit Schlussfolgerungen und Umformungen zu einem Widerspruch führt - der Widerspruch zeigt dann, dass die These nicht wahr ist.

Es gibt einfach ein paar Zahlen, die in ihrer Dezimaldarstellung so korrupt und seltsam erscheinen mögen - aber auch die gibt es und meist ist nicht mal eine hohe Anzahl an Nachkommastellen von Bedeutung, Pi kann man beispielsweise mit 22/7 schon recht gut annähern.

Woher ich das weiß:Studium / Ausbildung – Studium Mathematik

Hallo Willibergi ;

".. wird ihn aber nie erreichen." Na ja; bei 3 * 3,333... wird in der Mathematik doch, schon, ein Endergebnis -> 10 - als oberste Schranke als konkretes Ergebnis anerkannt.

altruist1

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Da muss man unterscheiden zwischen rationalen und irrationalen Ergebnissen sowie zwischen algebraischen und transzendenten. Ein paar Definitionen:

Rational ist eine Zahl, wenn sie sich als Bruch mit ganzem Zähler und Nenner schreiben lässt. Irrationale Zahlen lassen sich so nicht schreiben, zum Beispiel die Wurzel aus 2.

Algebraische Lösungen sind Lösungen von Polynomgleichungen. Transzendente Lösungen sind Lösungen von nichtpolynomischen Gleichungen, zum Beispiel die Lösung von x=tan(x).

Du siehst, es kann beliebig kompliziert werden. Aber schon rationale Zahlen können unendlich viele Nachkommastellen haben. Das ist aber, wenn man so will, ein Artefakt des verwendeten Zahlensystems (in unserem Fall dezimal). Zum Beispiel 1/3, in dezimaler Darstellung eine Zahl mit unendlich vielen Nachkommastellen, hat in einem Zahlensystem mit Basis 3 die Darstellung 0,1.

Was also ist genau deine Frage? Geht es dir wirklich um die endliche oder unendliche Anzahl der Nachkommastellen, dann kann man hier keine eindeutige Antwort geben, denn die kann viele Ursachen haben.

Woher ich das weiß:Studium / Ausbildung – Masterabschluss Theoretische Physik
x=tan(x)

Meinst du nicht eher y=tan(x) ?

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@Wirbelkanal

Nein, ich meine schon, was ich schreibe, y=tan(x) ist ja keine Gleichung für eine Variable sondern eine Funktion. ;)

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@Willibergi

Natürlich kann es beides sein, aber damit mein Beispiel irgendeinen Sinn macht, muss es eine Gleichung in einer Variable sein.

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Eine Idee, um an ein Muster zu kommen, wäre die Kettenbruchentwicklung

https://de.wikipedia.org/wiki/Kettenbruch

Den Kettenbruch von Wurzel(2) siehst du hier ganz oben

http://nibis.de/~lbs-gym/Verschiedenespdf/Kettenbruch.pdf

Man könnte also sagen, dass Wurzel(2) = [1; 2, 2, 2, 2, 2, ...] und damit hättest du ein regelmäßiges Muster. Das klappt aber leider nicht mit allen irrationalen Zahlen, für Pi kannst du keinen Kettenbruch entwickeln.

Da kennst Du http://www.gerdlamprecht.de/Kreiszahl.htm

§2g mit 6 Kettenbrüchen nicht.

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@hypergerd

Und: Regelmäßigkeiten bei der Berechnung nennt man besser Algorithmus oder Formel. Für Kettenbrüche ist es das große K.

Und diese Regelmäßigkeiten im Algorithmus haben zu 99% nichts mit den Mustern der Nachkommastellen zu tun. Ausnahmen sind extrem schnelle Konvergenz wie bei 

https://de.wikipedia.org/wiki/Liouvillesche_Zahl

wo jeder Term nur wenige Nachkommastellen eine 1 hinzufügt.

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Nein, es gibt kein Muster.

Einfachstes Beispiel: Dividiere 1 durch 3, dann bleibt bei jedem Rechenschritt eine Rest 1 (jeweilige Dezimalstelle) und damit ergibt es immer wieder dasselbe Zwischenergebnis 3 Rest 1 , das kann sich nie ändern

... das ist das die einzige "Erklärung" die es hierfür gibt: weil es eben so ist.

Du musst zunächst unterscheiden zw. 

a) Brüche, die unendlich viele periodische Nachkommastellen (Muster) ergeben -> es gibt sogar Formeln, die Periodenlänge berechnen können

7919/7927 hat Periodenlänge 7926

b) Funktionen, die über 90% ihrer Ergebnisse (also fast immer) irrationale Ergebnisse liefern (also unendlich viele nicht-periodische Nachkommastellen)

Und genau das wird in der Schule oft vergessen zu lehren, was hinter dem Namen der Funktion steckt!

Bei Wurzel(x)=sqrt(x)=x^(1/2) wird oft wie bei TomOfWitten mit dem langsamen Algorithmus der Bisektion herangegengen -> eine Art Probieren.

Es gibt aber weitere Algorithmen, mit denen man schneller zum Ziel kommt:

a) sqrt(x)=x^(1/2)=e^(ln(x)/2)=exp(ln(x)/2)

also ist die Wurzel nur ein Spezialfall aus der natürlichen Exponentialfunktion und dem natürlichen Log. Diese beiden Funktionen liefern fast immer irrationale Zahlen als Ergebnis, da sie als Reihe (Summe) aufgeschrieben unendlich lang sind. Alle Algorithmen (Berechnungsvorschriften) für diese Funktionen haben als Abbruchbedingung ein UNENDLICH stehen -> nur der Mensch legt fest, wann er mit dem Rechnen aufhört (wann ihm die Genauigkeit reicht).

b) Iterationen: das Ergebnis einer Rechnung wird immer wieder neu in die selbe Funktion eingesetzt und es entsteht ein besserer Wert, der sich pro Schritt dem Endergebnis annähert, man sagt konvergiert.

http://www.lamprechts.de/gerd/Roemisch_JAVA.htm

Beispiel 15 braucht so nur 9 Schritte für 15 richtige Nachkommastellen, während die Bisektion (Beispiel 2) dafür etwa 49 Schritte braucht.

Man kann bei vielen Funktionen schon vorhersagen, wann ein Ergebnis irrational sein wird:

z.B. jede Wurzel aus einer Primzahl ist irrational

Dann gibt es aber bis heute Funktionsergebnisse, bei denen die Irrationalität bis heute unbekannt ist: Pi^(1/Pi)

Für Interessierte noch allgemeiner:

http://www.lamprechts.de/gerd/php/RechnerMitUmkehrfunktion.php

kennt über 300 Funktionen. Über 80 % lassen sich durch hypergeometrische Funktionen ausrechnen, die auch wieder nur eine unendliche Reihe darstellen.
Die meisten entstanden aus der Schreibfaulheit der Menschen: wird eine Formel zu lang oder ein Integral nicht lösbar, machte man einen neuen Funktionsnamen daraus.

Für Pi findest Du unter http://www.gerdlamprecht.de/Kreiszahl.htm

über 100 Algorithmen zur Berechnung:

Summen, Produkte, Kettenbrüche, Iterationen, hypergeometrische Funktionen... die alle als Abbruchbedingung ein UNENDLICH zu stehen haben -> also in der theoretischen Mathematik nie enden.

Alle Funktionen, die unter 5. "spezielle Funktionen" scheinbar ohne das UNENDLICH auskommen sind in Wirklichkeit auch nur unendliche Reihen oder können durch hypergeometrische Funktionen ersetzt werden:

Für Argumente kleiner 1 gilt:
sin(x)=x*hyg0F1(3/2, -x²/4)
cos(x)=hyg0F1(1/2, -x²/4)
exp(x) = hyg1F1(1,1,x) = e^x
...

Zugabe: für viele irrationale Zahlen gibt es Zahlenfolgen:

http://www.gerdlamprecht.de/BisZuWelcherNKalleStringKombi.htm

Anzahl aller dezimalen Nachkommastellen einer mathematischen Konstante die benötigt werden, um alle n-stellige Zeichenketten (Zifferkombinationen) garantiert zu finden.

A036903(8)=1816743912 in Worten:

Für jedes erdenkliche Muster (Zifferkombinationen) aus 8 Ziffern

00000000 bis 99999999 braucht man nur 

1816743912 Nachkommastellen von Pi.

Deshalb kann man bei http://www.pi-e.de auch vorhersagen, mit welcher Wahrscheinlichkeit ein Muster der Länge gefunden wird.

(die Datenbank hat natürlich nicht alle 22,4 TB online gespeichert, sondern nur interessante, die oft gesucht werden.)

Und noch was: das Wort "Muster" ist mathematisch nicht eindeutig und sollte vermieden werden. (besser Periode) Da in den meisten irrationalen Zahlen (außer die NICHT-normalen in Basis 10 wie

https://de.wikipedia.org/wiki/Liouvillesche_Zahl  )

jedes Muster enthalten ist, kann man nicht sagen, sie hätte EIN Muster! Unendlich viele Muster ist wie Rauschen, und das ist kein Muster.

Und bei der Berechnung spricht man besser von Algorithmus oder Funktion, statt von "Muster".

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