Warum lässt sich das Konvergenzverhalten von der Reihe ∑ 2^((-1)^(n)-n), n ≥ 1 nicht mit dem Quotientenkriterium lösen? Mit dem Wurzelkriterium aber schon?

1 Antwort

Hier ein weiter relativ einfacher Konvergenzbeweis:

Der Summand ist von der Form:

2^((-1)^n - n) = 2^((-1)^n) * 2^(-n)

Abschätzung des Betrages liefert:

|...| < 2^(1 - n) = 2*(1/2)^(n)

die Reihe kann nun berechnet werden mittels der Formel für die geometrische Reihe und konvergiert. Da alle Summanden positiv sind gilt für die Partialsummenfolge S(n):

S(n+1) > S(n)  für alle n aus IN

somit ist S(n) eine monotone Folge. Die Partialsummenfolge ist nun also nach oben beschränkt und monoton steigend, daher konvergiert diese.


Anwenden des Quotientenkriteriums:

a(n) := 2^((-1)^n)*2^(-n)

Damit folgt:

|a(n+1)/a(n)| = {2^((-1)^(n+1))*2^(-(n+1))}/{2^((-1)^n) * 2^(-n)}

= {2^((-1)^(n+1) - (-1)^n)}/2

Mit  (-1)^(n+1) - (-1)^n = (-1)^n * ((-1) - 1) = 2*(-1)^(n) erhalten wir:

= 4^((-1)^n)/2

Fall 1) n ist gerade:

= 2 > 1 

Fall 2) n ist ungerade:

= 1/8 < 1

Wir können hier nun also das Quotientenkriterium nicht ohne weiteres direkt anwenden. Wir erhalten schließlich je nach Fall eine andere Abschätzung, wobei die eine in dem Falle die Divergenz bedeutet und die andere Konvergenz.


Anwenden des Wurzelkriteriums:

a(n) = 2^((-1)^(n))*2^(-n)

Es folgt also:

(|a(n)|)^(1/n) = (1/2)*2^[((-1)^n)/n] ----> (1/2)  für n --> inf

Der Grenzwert ist also kleiner als 1, daher konvergiert also die Reihe. Man kann zeigen, dass das Wurzelkriterium schärfer ist als das Quotientenkriterium.


Siehe auch:

https://de.wikipedia.org/wiki/Wurzelkriterium

https://de.wikipedia.org/wiki/Quotientenkriterium


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