Warum kann man statt dem Höhen und kathetensatz des euklid kein Satz des pythagoras benutzen?

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4 Antworten

Hallo,

beide werden aus dem Satz des Pythagoras abgeleitet.

Z.B. h²=p*q

In einem rechtwinkligen Dreieck mit a und b als Katheten, c als Hypotenuse und der Höhe auf c, die c in die beiden Hypotenusenabschnitte q und p aufteilt, so daß p auf derselben Seite wie a, q auf derselben Seite wie b ist, gilt nach dem Pythagoras:

p²+h²=a² sowie q²+h²=b²

Da c²=a²+b² (auch Pythagoras), gilt:

c²=p²+h²+q²+h²=p²+q²+2h²

Da c=p+q, ist c²=p²+q²+2pq

Dann muß 2pq=2h² sein, also pq=h², womit der Höhensatz des Euklid bewiesen ist.

Ähnlich läßt sich auch der Kathetensatz herleiten, wozu sich dann auch der aus dem Pythagoras hergeleitete Höhensatz heranziehen läßt.

Fazit: Natürlich reicht der Pythagoras. Man kann sich das Leben aber erheblich erleichtern, wenn man einmal bewiesene Herleitungen nicht ständig neu herleiten oder beweisen muß.

Wenn Du p und q gegeben hast, kannst Du h mit Hilfe des Höhensatzes wesentlich schneller berechnen, als wenn Du jedesmal den Satz des Pythagoras entsprechend umformen mußt.

Herzliche Grüße,

Willy

Es kommt ja immer darauf an, was gegeben und gesucht ist. Wenn du die Hypotenusenabschnitte gegeben hast und die Höhe ausrechnen willst, kommst du mit dem Satz des Pythagoras nicht wirklich weiter.

Genauso sieht's mit dem Kathetensatz aus: Wenn du Hypotenuse und Hypotenusenabschnitte gegeben hast, hilft dir der Satz des Pythagoras nicht weiter, wenn du die Seitenlänge ausrechnen sollst.

LG Willibergi

Er hilft schon, wenn Du aus ihm erst die beiden anderen Sätze herleitest. Das macht die Sache eben nur unnötig kompliziert.

Es geht letztlich darum, daß man das Rad nicht immer wieder neu erfinden muß.

Von all diesen Sätzen ist der Satz des Pythagoras aber mit Sicherheit der wichtigste, wenn nicht überhaupt einer der grundlegendsten Sätze in der Mathematik überhaupt.

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@Willy1729

Ja, das stimmt schon. 

daß man das Rad nicht immer wieder neu erfinden muß trifft's besser.

LG Willibergi

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Wenn zum Beispiel nur die Höhe, oder die jeweiligen Abschnitte p und q der Hypothenuse gegeben sind, also nicht die Katheten oder eine Kathete und die Hypothenuse musst du den Höhensatz benutzen. Kurz um du guckst zuerst was gegeben ist, versuchst es mit dem Pythagoras und wenn das nicht geht mit den Katheten oder Höhensatz.

Ich verstehe nicht, warum man das nicht können sollte. Es hängt vermutlich davon ab, was gegeben ist.

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