Warum kann man Axiome (mathematische) nicht beweisen. Warum ist 1+1=2?

4 Antworten

1+1=2 ist kein Axiom. Um die natürlichen Zahlen zu definieren benutzt man die Nachfolgefunktion p(n)=n+1. Und die zweite natürliche Zahl nennen wir 2. Es gilt der Nachfolger der ersten Zahl 1 ist die zweite Zahl. Also p(1)=1+1:=2. Mit dem Aufbau der Nachfolgefunktion lassen sich dann die Rechenregeln für die natürlichen Zahlen beweisen. Ein Axiom der mathematik wäre so etwas wie das Auswahlaxiom, was als umstritten gilt (Aus jeder nichtleeren Menge von Elementen kann man ein Element wählen) oder dem Axiom, dass für jedes Objekt x gilt: x=x.

Aber wenn man doch ein Axiom z.B. aus einer Gruppe benutzt, wo die Abgeschlossenheit gilt? Sprich: 

M Teilmenge von R , a∈M , a+a= 2a ebenfalls ∈M (hier im Beispiel a=1) dann ist das doch ein Axiom oder nicht? 

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Nein. Man definiert eine Gruppe nach den Regeln Assoziativität,... und dann leitet man aus diesen Regeln Rechenregeln innerhalb der Gruppe her. Hat man dann einmal eine Gruppe gefunden und bewiesen, dass die selbst definierten Bedingungen gelten, dann weiß man automatisch auch, dass alle hergeleiteten Regeln in einer Gruppe auch in genau dieser Gruppe stimmen. Das ist ein Grundprinzip der Mathematik (bzw Algebra).

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Weil ein Axiom so definiert ist !!!

Zitat von Wikipedia -->

Ein Axiom ist ein Grundsatz einer Theorie, einer Wissenschaft oder eines axiomatischen Systems, der innerhalb dieses Systems nicht begründet oder deduktiv abgeleitet wird.

Danke erstmal für die schnelle Antwort und ich kenne die Definition schon :D, nur ich glaube du verstehst meine Frage nicht genau. 

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naja auf irgendwas musst du ja aufbauen oder? um irgendwas beweisen zu können, brauchst du immer andere grundlagen, die du für den beweis benutzt. diese grundlagen aller grundlagen müssen dann halt festgelegt werden, ansonsten könnte man halt nichts beweisen, weil alles nur aus unbewiesenen theorien bestünde

Das stimmt schon, nur frage ich mich, wieso das so ist, oder hinterfrage ich viel zu sehr und mache mich selber kaputt dabei? xD, ich habe mich halt nur gefragt ob es i.wo im Universum eine tiefere Unterschicht gibt, als die Grundlage, dass 1+1=2 ist, sodass diese Rechnung daraus resultiert... Iwie doof es in Worten auszudrücken... 

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@DerTrafalgar

Mathematik ist eine Erschaffung des Menschen. Auch wenn extrem viele  Rechnungen Sachen, welche im Universum geschehen, voraussagen und beschreiben können, ist Mathematik eben trotzdem nur eine "Erfindung" des Menschen, hat also nichts mit dem Universum an sich zu tun.

1+1 ist eben 2, davon geht man aus. Das haben Menschen damals festgelegt, und bislang wurde es noch nicht widerlegt (geht ja auch nicht), darum nehmen wir an, dass es stimmt.

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